DALL’INSIEME DEI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI POSITIVI

Gli insiemi numerici ( N  dei numeri naturali,  Q^{+} dei numeri razionali positivi, l’insieme  I^{+} dei numeri irrazionali positivi e l’insieme  R^{+} dei numeri reali positivi) non sono indipendenti e separati tra loro, ma sono l’uno l’ampliamento dell’altro.

Nell’insieme N dei numeri naturali è sempre possibile eseguire l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza. In simboli:

se a,b ∈ N  allora  a+b ∈ N    a·b ∈N   a² ∈ N

Le operazioni inverse: sottrazione, divisione  ed estrazione di radice quadrata non sempre hanno risultato in N.

Ecco perchè c’è la necessita di ampliare l’insieme dei numeri naturali, quindi, introduciamo l’insieme  Q^{+} dei numeri razionali positivi che ha come elementi i numeri decimali finiti o periodici che si possono ottenere da frazioni aventi per numeratore e denominatore numeri naturali. L’ insieme   Q^{+} un’ampliamento dell’insieme N  e quindi N  è un sottoinsieme di  Q^{+}, in simboli si scrive:

N ⊂  Q^{+}

    

Nell’insieme  Q^{+} è sempre possibile eseguire oltre che l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza anche la divisione. In simboli:

se a,b ∈   Q^{+}    allora    a+b ∈ Q^{+}     a·b ∈ Q^{+}       a^{n} ∈  Q^{+}    \frac{a}{b} ∈  Q^{+}

L’estrazione di radice e la sottrazione non sempre hanno risultato  Q^{+}.

Per rendere sempre possibile l’operazione di estrazione di radice, anche di numeri che non sono quadrati perfetti, si introduce l’insieme  I^{+} dei numeri irrazionali positivi, cioè dei numeri decimali illimitati non periodici che non si possono ottenere da una frazione. Questi numeri sono radici non esatte o numeri come π o altri ancora.

L’insieme  I^{+} (dei numeri razionali positivi) non comprende l’insieme  Q^{+} ma lo affianca e la loro unione genera l’insieme  R^{+} dei numeri reali assoluti. In simboli si scrive:

 Q^{+} ∪  I^{+} =  R^{+}

I due insiemi sono disgiunti:

 Q^{+} ∩  I^{+} = ∅

Nell’insieme  R^{+} è sempre possibile eseguire  l’addizione, la moltiplicazione, l’elevamento a potenza, la divisione e l’estrazione di radice. Anche in  R^{+} la sottrazione non è possibile: dovremo quindi ampliare gli insiemi numerici fin qui usati con i numeri dotati di segno che ci permettono di eseguire sempre la sottrazione e cioè l’insieme Z dei numeri interi relativi.

Vedi gli esercizi

 

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