Equazioni di secondo grado

equazione
equazione di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono quelle in cui il grado massimo dei suoi termini è 2.

Tali equazioni non sono di facile soluzione. In questo corso di studio si considerano solo le equazioni pure cioè quelle in cui è presente solo il termine noto e il termine di 2° grado.

Per esempio:  x² – 25 = o   è un’equazione pura

Un’equazione di 2° grado si dice pura se non contiene termini di 1° grado.

Per risolvere un’equazione di secondo grado si eseguono una serie di passaggi che portano a un’equazione nella forma normale equivalente a quella data, per esempio:

– 5x + x(4x + 3) = – 2x + 49       si eliminano le parentesi

-5x + 4x² + 3x = -2x + 49          si applica la regola del trasporto

– 5x + 4x² + 3x + 2x = + 49       si riducono i termini simili

+ 4x² = + 49                                 equazione in forma normale

  

Si applica il 2° principio di equivalenza:

\frac{4}{4} x² = +\frac{49}{4}         da cui    x² = +\frac{49}{4}

Si estrae la radice quadrata:

x = ± \frac{7}{2}              quindi:    x_{{1}}= + \frac{7}{2}  e   x_{{2}}= – \frac{7}{2}

Questo perchè sia il quadrato di un numero positivo +\frac{7}{2} , sia il quadrato di un numero negativo – \frac{7}{2}  sono uguali a +\frac{49}{4}  .

L’equazione ha quindi due soluzioni date da numeri relativi opposti.

Se abbiamo x² = – 9  essa non ha soluzioni perchè \sqrt{- 9} non è un numero reale.

In generale, un’equazione pura di 2° grado si può scrivere in forma normale:

ax² = b   con a≠ 0  la formula risolutiva è:

x = ± \sqrt{\frac{b}{a}}

quindi:

  • se \frac{b}{a} > 0  l’equazione ammette due soluzioni opposte x_{{1}} =  + \sqrt{\frac{b}{a}}  e  x_{{2}} =  – \sqrt{\frac{b}{a}}
  • se \frac{b}{a} <0 l’equazione si dice impossibile cioè non ammatte soluzioni in quanto nell’insieme R non esiste la radice quadrata di un numero negativo.

Vedi gli esercizi

 

Programma matematica terza media