SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale o numerica, diversa da 0, si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data.

Esempi

1) 4x -2 =14  che ha per radice x=+4

Moltiplicando entrambi i membri per +3 si ha:

(4x-2)·(+3)=(14)·(+3) cioè

12x – 6=+42

La soluzione è ancora x=4 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.

Se dividiamo ora entrambi i membri per 2 otteniamo:

(4x – 2): 2 =14 : 2    da cui    2x – 1 = 7

La soluzione è ancora x=4 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.

2) 4x+2=14-2x  che ha per radice  x=+2

Dividiamo entrambi i membri per due:

\frac{4x+2}{2}=\frac{14-2x}{2}  ⇒ 2x + 1=7 – x  ⇒  3x=6   per eliminare il 3 da vicino alla x si divide il primo e il secondo membro per 3

\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}  ⇒x=2

  

Una conseguenze del secondo principio di equivalenza è:

Cambiando segno a tutti i termini di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.

Infatti questo corrisponde a moltiplicare entrambi i membri per -1.

Esempio:

-3x + 4=7 – 5x  moltiplico entrambi i membri per -1 si ottiene un’equazione equivalente a quella data:

(-1)(-3x+4)=(-1)(7-5x)  ⇒ +3x -4=-7 + 5x.

Il secondo principio è importante se si hanno equazioni frazionarie, infatti: se una equazione ha uno o più coefficienti frazionari se ne può ottenere un’altra equivalente moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.

\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}          che ha soluzione x=2

Facciamo il minimo comune multiplo:

\frac{2x+3}{6}=\frac{4x+1}{6}

Moltiplicando entrambi i membri per 6 ottengo un’equazione con coefficienti interi:

6 ·\frac{2x+3}{6}=\frac{4x+1}{6}  ⇒  2x+3=4x+1.

La soluzione è ancora x=2

Vedi primo principio di equivalenza

Vedi gli esercizi

 

Programma matematica terza media