Supponiamo che un’urna contenga 100 palline uguali di forma e di massa e uguali al tatto, di cui 50 sono bianche e 50 sono nere. E’ evidente che la probabilità di estrarre una pallina è uguale a quella di estrarre una pallina nera.
Però se delle 100 palline 75 sono bianche e 25 sono nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca è maggiore di quella di estrarre una pallina nera. In tal caso diciamo che i casi possibili sono 100 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 100 palline e i casi favorevoli sono 75 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 75 palline bianche.
Ora si intuisce che c’è una relazione fra il numero di casi possibili e quello dei casi favorevoli. Infatti: la probabilità p(A) che si verifichi un evento A è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli f(A) al verificarsi dell’evento A e il numero n dei casi, ritenuti ugualmente possibili. Quindi:
P(A)=
Nell’esempio considerato, il numero dei casi possibili è 100, quello dei casi favorevoli è 75, per cui la probabilità p che dall’urna venga estratta una pallina bianca è:
p=
Un altro esempio può essere:
Se in un sacchetto non trasparente, inseriamo 6 palline rosse e 4 nere cioè 10 palline in totale, la probabilità dell’evento:
A=”viene estratta una pallina rossa” P(A)=
Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono incompatibili quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro.
Consideriamo un mazzo da 52 carte e i due eventi:
: estrarre un asso = estrarre un fante
P() = f= 4 (i 4 assi) p= 52 (tutte le carte)
P() = f= 4 (i 4 fanti) p = 52 (tutte le carte)
I due eventi e si escludono a vicenda; il verificarsi dell’evento esclude il verificarsi dell’evento : non si possono estrarre contemporaneamente un asso e un fante. I due eventi e sono incompatibili.
Se due eventi parziali e sono incompatibili la probabilità che si verifichi l’evento totale, cioè l’evento o l’evento è uguale alla somma delle singole probabilità. P( o ) = P () + P ()
Consideriamo la probabilità del seguente evento:
E: estrarre un asso o un fante da un mazzo da 52 carte
I due eventi : estrarre un asso e : estrarre un fante si dicono eventi parziali, mentre E: estrarre un asse o un fante si dice evento totale, per cui otteniamo E= o
I due eventi parziali sono incompatibili, perchè non possono verificarsi contemporaneamente, quindi:
P(E)= P() + P() = ≅0.15 ≅ 15%
Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono compatibili quando il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro.
La probabilità dell’evento E si ottiene applicando la formula : P (E) =
I casi possibili sono 52 come le carte del mazzo; i casi favorevoli sono 4 (numero dei re) più 12 ( numero delle carte di cuori da cui abbiamo escluso il re contato prima), quindi:
P(E)=
Si ottiene lo stesso risultato addizionando: P() + P() e sottraendo la probabilità P () dell’evento : estrarre un re di cuori già compreso in e in , quindi:
P(E)= P () + P () – P () =
