Catena di rapporti uguali

L’uguaglianza di tre o più rapporti costituisce una CATENA DI RAPPORTI UGUALI, come per esempio:

\frac{2}{3}= \frac{4}{6}=\frac{12}{18} si può scrivere anche 2:3 =4:6= 12 : 18

I tre rapporti sono tutti uguali a \frac{2}{3} ; i numeri 2, 4, 12 sono gli antecedenti mentre i numeri 3, 6, 18 sono i conseguenti.

Per le catene dei rapporti uguali valgono le proprietà dell’invertire ogni antecedente con il proprio conseguente e la proprietà del comporre.

Nell’esempio considerato possiamo infatti:

  •  applicare la proprietà dell’invertire ottenendo ancora una proporzione:

3 : 2=6 : 4=18 : 12, i rapporti sono tutti uguali a \frac{3}{2}

( 2 + 4 + 12 ) : ( 3 + 6 + 18) =2:3     ⇒ 18 : 27 = 2 : 3

Vale la proprietà fondamentale, infatti   18 x 3 = 54       27 x 2 = 54

( 2 + 4 + 12 ) : ( 3 + 6 + 18) =4:6     ⇒ 18 : 27 = 4 : 6

Vale la proprietà fondamentale, infatti  18 x 6 = 108       27 x 4 = 108

( 2 + 4 + 12 ) : ( 3 + 6 + 18) = 12:18   ⇒ 18 : 27= 12 :18

Vale la proprietà fondamentale, infatti  18 x 18 =324    28 x 12=324

In una catena di rapporti uguali la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente.

PROBLEMA

Determina tre numeri sapendo che la loro somma è 140 e stanno tra loro come i numeri 3, 4, 7.

Indichiamo i tre numeri con le lettere x, y , z avremo:

x +y +z = 140 e x : 3 = y : 4 = z : 7

Applichiamo la proprietà del comporre:

( x+y+z):(3+4+7) = x :3

(x+y+z):(3+4+7) =y:4

(x+y+z):(3+4+7)=z:7

Sostituiamo i valori:

140:14=x:3                 140:14=y:4             140:14=z:7

Da cui

\frac{14 \cdot x}{14} = \frac{140 \cdot 3}{14} ⇒ x = 30 ;    \frac{14 \cdot y}{14} = \frac{140\cdot 4}{14} ⇒ y = 40 ;  \frac{14\cdot z}{14}\frac{140\cdot 7}{14}⇒ z=70

Possiamo quindi verificare l’esattezza dei calcoli sostituendo i valori delle incognite nell’equazione x+y+z= 140

Vedi gli esercizi

Programma matematica seconda media

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