Le disequazioni sono fratte (o frazionarie) quando contengono l’incognita in almeno un denominatore.

Le disequazioni numeriche fratte

Consideriamo l’esempio:

\frac{4x - 6}{(1 - x)}+ 1  > 0  si riduce allo stesso denominatore

\frac{4x -6 + 1 - x}{(1 - x)}  > 0

\frac{3x - 5}{(1 - x)}  > 0  in questo caso non possiamo eliminare il denominatore come accade per le equazioni, perchè il segno della frazione dipende anche dal segno del denominatore. Per risolvere la disequazione dobbiamo determinare per quali valori di x  la frazione è positiva, negativa o nulla.

A questo punto si svolge il così detto studio del segno della funzione. Bisogna quindi studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

Vediamo come si risolve la disequazione fratta \frac{3x - 5}{(1 - x)}  > 0. La prima cosa da fare è considerare separatamente il numeratore e il denominatore e vedere per quali valori,quindi quali intervalli sono concordi il numeratore e il denominatore.

N (numeratore)> 0  3x – 5> 0 ⇔ x > \frac{5}{3}

D(denominatore ) > 0     1 – x > 0 ⇔ x < 1

I risultati ottenuti devono essere riportati su uno schema grafico, che ci permette di studiare il segno.

disequazione-1

Le disequazioni letterali fratte

Risolviamo per esempio la disequazione \frac{1 - ax}{x} > 0

Per lo studio del segno si pone come per le disequazioni fratte numeriche il numeratore e il denominatore maggiori di zero.

N > 0    1 – ax > 0  ⇒ ax < 1

A questo punto dobbiamo considerare i valori che può assumere a. Quindi:

Se a > 0      N > 0   quando x< \frac{1 }{a}

Se a=0        N > 0   per qualsiasi valore di x

Se a <0      N > 0   quando   x >  \frac{1 }{a}

D > 0      x> 0

Si devono fare tre schemi a seconda del valore di a.

disequazioni-2

Vedi gli esercizi

Programma matematica primo superiore