Divisione esatta fra due polinomi
Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un terzo polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.
Possiamo scrivere A:B se e solo se B·Q=A
A è il dividendo, B è il divisore, Q è il quoziente.
Il polinomio:
A= 
è divisibile per il polinomio B=2x²+1
Infatti esiste il polinomio:
Q = tale che:
(2x² + 1)()=
Il grado del polinomio quoziente
Il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori: dunque, poichè B·Q=A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n – p.
Se prendiamo l’esempio: , il divisore è 2x²+1; il grado di A è 7, il grado di B è 2, il grado del polinomio quoziente Q è 5, cioè 7-2.
Divisione con resto fra due polinomi
Possiamo eseguire la divisione fra polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.
Dati due polinomi A e B nella variabile x, col grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R tali che:
A = B ·Q + R, dove Q è polinomio quoziente e R il polinomio resto.
Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado B.
Nel caso particolare in cui R=0, si ha A=B·Q, ossia A è divisibile per B.
Per esempio:
A= 13x² + 6x³ + 6 + 5x
B= 2 – x+ 3x²
Per svolgere la divisione bisogna mettere in ordine secondo le potenze decrescenti della variabile:
( 6x³ + 13x² + 5x + 6):( 3x²- x + 2)
Per verificare se il risultato è giusto moltiplichiamo il quoziente (2x+5) per il divisore ( 3x²- x + 2) a cui ci aggiungiamo il resto (6x-4)
(2x+5)( 3x²- x + 2) + (6x-4)= 6x³ + 13x² + 5x + 6
