Equazioni

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni a coefficienti interi.

a) 3x – 2 + 10 = 4 – 2x + 7x

Si applica la legge del trasporto portando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

3x + 2x – 7x = 4 + 2 – 10

si riducono i termini simili:

– 2x = – 4

si cambiano tutti i segni dei termini:

2x = + 4

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{4}{2} = + 2

b) 2x – 5(x – 4) + 3 = 2(x – 1) + 8

Si eliminano le parentesi svolgendo i calcoli:

2x – 5x + 20 + 3 = 2x – 2 + 8                      il 2x si possono eliminare perchè si trova sia al 1° che al 2° membro

– 5x + 20 + 3 = – 2 + 8

si trasportano i termini noti al secondo membro:

– 5x = – 2 + 8 – 20 – 3

si riducono i termini simili:

– 5x = – 17

si cambia di segno:

5x = + 17

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{17}{5}

c) 7 – (8x + 2) – 3(3 – 5x) = 4 + 5(2x – 1)

7 – 8x – 2 – 9 + 15x = 4 + 10x – 5

– 8x + 15x – 10x = 4 – 5 – 7 + 2 + 9

-3x = + 3

3x = – 3

x = -\frac{3}{3} = – 1

d) 3x –  [ – 2 (x – 7) + 3x + 9] = 5(2x + 5) + 1 – 4(1 – 3x)

3x –  [ – 2x + 14+ 3x + 9] = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x   + 2x – 14- 3x – 9 = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x  + 2x – 3x – 10x – 12x =  +25 + 1 – 4  + 14 + 9

– 20x = 45

20 x=  – 45

x = -\frac{45}{20} =- \frac{9}{4}

e) 4x – 2 { –    [ -6 (4 – x) + 25 – 5(2x + 3)] } = 3(3 – x) + 8 – 2(x + 4)

4x – 2 { –  [- 24 + 6x + 25 – 10x -15] } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 2 {+ 24 -6x – 25 + 10x +15 } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 48 +12x +50 -20x – 30 = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x + 12x  -20x +3x +2x = 9  + 8  – 8 + 48 – 50 +30

x  = 37

Esercizio n° 2

Risolvi le equazioni a coefficienti frazionari.

a) \frac{4}{5}x – \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}6}                     m.c.m (2; 3 ; 5 ; 6) = 30

equazioni

24x – 20 = 15x + 25

24x – 15x = 25 + 20

9x = 45

x = \frac{45}{9} = 5

b) \frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 0                            m.c.m. (2 ; 5 ; 10) = 10

equazioni 1

2x + 1 – 2 (1 – 3x) + 5 (x – 1) – 20 = 0

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 0

2x + 6x + 5x = – 1 + 2 + 5 + 20

13x = 26

x = \frac{26}{13} = 2

c) \frac{2}{7} (\frac{x}{4} – \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x + 3) = 3 ( \frac{1}{7} – \frac{x}{2}) – 1                          m.c.m.(2; 4; 7) = 28

equazioni 2

2 (x – 2) – 14 (x + 3) = 6 (2 – 7x ) – 28

2x – 4 – 14x – 42 = 12 – 42x – 28

2x – 14x + 42x = 12 – 28 + 4 + 42

30x = 30

x = \frac{30}{30} = 1

d) \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} (2x – \frac{1}{2}) – \frac{x}{2}  ] = 2 (\frac{x}{2} – \frac{1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} ( \frac{4x - 1}{2}) – \frac{x}{2}] = 2 ( \frac{x - 1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1}{4} – \frac{x}{2}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1-2x}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{2x - 1}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{2x - 1}{8} =  x – 1 + \frac{1}{8}                       m.c.m. = 8

equazioni 3

2x – 1 = 8x – 8 + 1

2x – 8x = -8 + 1 +1

– 6x = – 6

6x = + 6

x = \frac{6}{6} = 1

e) \frac{\frac{x + 1 }{3}- \frac{2(x + 1)}{9}}{\frac{1}{3}-1} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3(x +1)-2(x + 1)}{9}}{\frac{1-3}{3}}} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3x +3-2x -2}{9}}{-\frac{2}{3}}} = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{9} :( - \frac{2}{3} )= \frac{x-2}{3}

 

 \frac{x +1}{9} · (- \frac{3}{2}) = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{3} · (- \frac{1}{2}) = \frac{x-2}{3}

- \frac{x +1}{6} = \frac{x-2}{3}                      m.c.m.(3; 6) = 6

- \frac{x +1}{6} =  \frac{2x-4}{6}       il denominatore si può eliminare come se moltiplicassimo entrambe i membri per 6

– x – 1 = 2x – 4

– x – 2x = + 1 – 4

– 3x = – 3  ⇒  3x = 3 ⇒  x = \frac{3}{3} = +1

Esercizio n° 3

Risolvi le equazioni riducibili a equazioni di 1° grado.

a) (x – 1) (x + 1) – x(x – 2) = 3 (x + 2) + 4        Si eliminano le tonde svolgendo i calcoli

x² – 1 – x² + 2x = 3x + 6 + 4                              i termini con x² si possono eliminare:

2x – 3x = 6 + 4 + 1

– x = + 11

x = – 11

b) (2x – 1)² + 1 – 2(3 – x) = – (2x + 1) (2 – x) – 2x ( 1 – x)

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – (4x – 2x² + 2 – x) – 2x + 2x²

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – 4x + 2x² – 2 + x – 2x + 2x²

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al 2°:

4x² + 2x – 2x² – x + 2x – 2x² = -2 – 1 – 1 + 6

si riducono i termini simili:

(4 – 2 – 2)x² + (+2 -1 + 2)x = + 2

3x = + 2

x = \frac{2}{3}