Il valore assoluto, chiamato anche modulo, di un numero è il numero considerato senza segno, per esempio |+5| = 5, |-8| = 8.

Ovviamente, se invece del valore assoluto di un numero consideriamo quello di un’espressione con variabili il discorso cambia perchè i valori di x possono essere positivi, negativi o nulli.

Se x ≥ 0    vorrà dire che |x|= x

Se x = +5     allora |x| = |+5| = 5

Se x= 0       |x|=|0| = 0

Se x < 0, dobbiamo scrivere |x|= -x

Se x = -7   allora |x| =|-7| = – (-7) = 7

In definitiva il valore assoluto di una variabile è uguale alla variabile stessa, se essa è positiva o nulla; è uguale all’opposto della variabile se essa è negativa.

Calcoliamo per esempio |x – 3|.

Consideriamo i vari casi:

Se x – 3≥0 quindi x ≥3 allora |x-3| = x – 3

Se x – 1 < 0 quindi x <1 allora il valore assoluto è l’opposto dell’espressione e cioè |x-3|= -(x-3)= -x + 3.

Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, si deve eliminare il valore assoluto, considerando il segno dell’espressione in esso contenuta.

Per esempio:

|4x – 8 | – 3 = 2x – 9

Studiamo prima di tutto il segno all’interno del valore assoluto:

4x – 8 ≥ 0 ⇔ x ≥2  ma se x <2 avremo |4x – 8 |=-(4x – 8) = -4x + 8

Per calcolare i risultati di questa equazione si svolgono due sistemi e cioè con  x<2 e x ≥2

valore-assoluto

\frac{7}{3} non è accettabile perchè non è minore di 2.

1 non è accettabile perchè non è maggiore di 1.

L’equazione data è impossibile.

Per risolvere una disequazione dove comparare il valore assoluto dell’incognita, vediamo come si procede.

Per esempio:

|x – 2|< 3x + 6

Anche in questo caso si studia prima il segno all’interno del modulo:

x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Se x≥ 2     |x – 2| = x – 2

Se x <2    |x – 2| = – (x-2)= -x + 2

Anche in questo caso la soluzione della disequazione si otterrà dai due sistemi.

valore-assoluto-2

grafico

 

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