Un’equazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Un’equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numeri, invece è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.

\frac{3}{x-2} = 6  e    \frac{3}{x} + 2 = \frac{12}{x-3}  sono equazioni numeriche fratte

\frac{a}{x}+ 1= \frac{1}{a}+ 2x  e    \frac{3}{x-2} +7a= 2a – 5 sono equazioni letterali fratte

La risoluzione di questo tipo di equazioni avviene come le altre equazioni ma ponendo la condizione di esistenza.

Per esempio risolviamo un’equazione numerica fratta:

\frac{x}{x-1}= \frac{1}{x-1

C.E.    x-1≠0, cioè x≠1

Per risolverla moltiplichiamo entrambe i membri per x – 1 e otteniamo x = 1

A questo punto bisogna controllare se la soluzione è compatibile con la condizione d’esistenza. Visto che la soluzione x = 1 è incompatibile con x≠1 , allora l’equazione è impossibile.

Risolviamo un’equazione letterale fratta:

\frac{a+x}{x+2} + \frac{x - 2a}{x-3}  = \frac{2a}{3x + 6} – \frac{2x}{3-x} + \frac{15}{(x-3)(x+2)}

Poniamo la C.E.

x+2 ≠0 ⇒ x ≠-2

x-3 ≠0 ⇒ x ≠ 3

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{3(a+x)(x-3)+ 3(x-2a)(x+2)}{3(x-3)(x+2)}= \frac{2a(x-3)+ 6x(x+2)+ 45}{3(x-3)(x+2)}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

3(a+x)(x-3) +3(x-2a)(x+2) = 2a(x-3)+6x(x+2) + 45

3ax + 3x² -9a -9x +3x² -6ax +6x – 12a =2ax -6a +6x² +12x + 45

-5ax – 15x = 45 + 15a

-5x(a + 3) = 15(a + 3)            per a+3 ≠0  ⇒ a ≠-3

x =\frac{15(a+3)}{-5(a+3)} =- \frac{15}{5} = -3

Vediamo se la soluzione è valida, quindi se la soluzione è diversa da -2 e 3 ottenuti nella C.E. A questo punto vediamo che la soluzione è uguale ad a≠ – 3, ciò vuol dire che l’equazione -5x(a + 3) = 15(a + 3)    si riduce a 0·x = 0 e quindi l’equazione è indeterminata.

Consideriamo un altro esempio:

1 + \frac{a +x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

C.E.   x – 2 ≠0 ⇒ x ≠ 2

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

(x – 2)\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}(x-2)

x- 2 + a + x = 9a + 4

2x = 9a + 4 + 2 – a ⇒ 2x = 8a + 6

x = 4a + 3

Questa soluzione è accettabile solo se risulta verificata la condizione di esistenza della frazione.

Quindi x ≠ 2 diventa:

4a + 3 ≠ 2      4a  ≠-3 + 2

4a  ≠ -1         a  ≠ -\frac{1}{4}

A questo punto se a =-\frac{1}{4} , si ha x = 4 (-\frac{1}{4}) + 3 = 2. In questo caso la condizione per l’esistenza delle frazioni non è verificata e l’equazione è impossibile.

Se a ≠ -\frac{1}{4}, l’equazione è determinata e la soluzione è x = 4a + 3

Se a = -\frac{1}{4}, l’equazione è impossibile

Programma matematica primo superiore

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