Esercizio n° 1

Semplifica i seguenti radicali.

1) \sqrt[10]{32}\sqrt[4]{9}\sqrt[6]{25}

2) \sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0;    \sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0

3)\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}    y ·z>0

4) \sqrt[]{a ^{4}b ^{6}};   \sqrt[]{a ^{2}b ^{4}}\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}     b>0

5)\sqrt[6]{a ^{4}-8a^{2}b ^{2}+ 16b^{4}}

6) \sqrt[4]{a ^{2}+2ab +b ^{2}}

7) \sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}}

8) \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}}

9) \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}}

Esercizio n° 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali

10) \sqrt[3]{5} ; \sqrt{2} ; \sqrt[4]{7} ; \sqrt[6]{3}

11) \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}    ; \sqrt[]{(a+b) }   \sqrt[3]{(a+b) }

12) \sqrt[7]{ 2x ^{6}}   \sqrt[]{ x y}   \sqrt[14]{ x y ^{7}}

13) \sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} ; \sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}} ; \sqrt[4]{\frac{x^{3}y}{3}} ;

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Semplifica i seguenti radicali.

1) \sqrt[10]{32}\sqrt[4]{9}\sqrt[6]{25}

\sqrt[10]{32} = \sqrt[10]{2 ^{5}} = \sqrt[10: 5]{2 ^{5: 5}} = \sqrt{2}

\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3 ^{2}} = \sqrt[4: 2]{3 ^{2: 2}} = \sqrt{3}

2) \sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0;    \sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0

\sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0 = \sqrt[6]{3 ^{3}a ^{3}b ^{6}}  = \sqrt[6]{(3 ab^{2} )^{3}}  = \sqrt[]{3 ab^{2} }

\sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0 = \sqrt[10]{2^{5}a ^{5}b ^{5}}   = \sqrt[10]{(2a b) ^{5}}   = \sqrt[]{2a b}

3)\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}    y ·z>0

\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}   = \sqrt[20]{(x ^{2}y z t ^{4}) ^{5}}   = \sqrt[4]{x ^{2}y z t ^{4} }

4) \sqrt[]{a ^{4}b ^{6}};   \sqrt[]{a ^{2}b ^{4}}\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}     b>0

\sqrt[]{a ^{4}b ^{6}} =   \sqrt[]{(a ^{2}b ^{3})^{2}} = a ^{2}\left \|   b| ^{3} si mette il valore assoluto perchè la b deve essere per forza positiva

\sqrt[]{a ^{2}b ^{4}} = \sqrt[]{(a b ^{2})^{2}} = \left \| a| b^{2}

\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}  = \sqrt[3]{(a ^{2}b ^{3})^{3}}  =  a ^{2}\left \|   b| ^{3}

5)\sqrt[6]{a ^{4}-8a^{2}b ^{2}+ 16b^{4}} = \sqrt[6]{(a ^{2}-4b^{2})^{2}} = \sqrt[3]{a ^{2}-4b^{2}}

6) \sqrt[4]{a ^{2}+2ab +b ^{2}} =  \sqrt[4]{(a +b) ^{2}} =  \sqrt[2]{\left \|  (a +b) |}  in pratica il valore assoluto lo mettiamo ogni qual volta il radicale è pari è quando i componenti del radicando hanno un esponente dispari.

7)\sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}}

\sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}} = \sqrt[6]{\frac{(2a +2b) ^{3}}{(3a -3b) ^{3}(x +y) ^{3}}} = \sqrt[2]{\frac{2a +2b}{(3a -3b) (x +y) }}  con a>0 e x≠y

8) \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}} 

\sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}} =  \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{2^{2}(a -b)^{2}}} =  \sqrt[2]{\frac{c ^{2}\left \|  a|  \left \|  x-2z|}{2 \left \|  a-b|}}

 9) \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}}

 \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}} = \sqrt[3n]{\frac{(x a ^{9})^{n}}{b^{2n}}} = \sqrt[3]{\frac{x a ^{9}}{b^{2}}}

Esercizio n° 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali.

10) \sqrt[3]{5} ; \sqrt{2} ; \sqrt[4]{7} ; \sqrt[6]{3}

il m.c.m (3, 2, 4, 6 ) = 12

A questo punto per passare a tutti radicali con indice 12, bisogna elevare ogni radicando fra il m.c.m e l’indice di partenza.

\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^{4}}  = \sqrt[12]{5^{4}}  =  \sqrt[12]{625}

\sqrt{2} =  \sqrt[2 \cdot 6]{2^{6}}   =  \sqrt[12]{64}

\sqrt[4]{7} =  \sqrt[4 \cdot 3]{7^{3}}   =  \sqrt[12]{343}}

\sqrt[6]{3} =  \sqrt[6 \cdot 2]{3^{2}}    =  \sqrt[12]{9}}

11) \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}    ; \sqrt[]{(a+b) }   \sqrt[3]{(a+b) }

m.c.m = (6, 2, 3) = 6

\sqrt[6]{(a-b) ^{2}}

\sqrt[]{(a+b) }    = \sqrt[2 \cdot3]{(a-b) ^{3}}    = \sqrt[6]{(a-b) ^{3}}

\sqrt[3]{(a+b) }   \sqrt[3 \cdot2]{(a-b) ^{2}}    = \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}

 

12) \sqrt[7]{ 2x ^{6}}   \sqrt[]{ x y}   \sqrt[14]{ x y ^{7}}

m.c.m (7,2,14) = 14

\sqrt[7]{ 2x ^{6}}    = \sqrt[7 \cdot2]{ (2x ^{6})^{2}}     = \sqrt[14]{ 4x ^{12}}

\sqrt[]{ x y}    = \sqrt[2 \cdot 7]{( x y) ^{7}}     = \sqrt[14]{ x^{7} y ^{7}}

\sqrt[14]{ x y ^{7}}

13) \sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} ; \sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}} ; \sqrt[4]{\frac{x^{3}y}{3}} ;

m.c.m. tra (2,6,4)= 12

\sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} = \sqrt[2 \cdot 6]{(\frac{2xy}{x+1})^{6}}  = \sqrt[12]{\frac{32 x^{6}y^{6}}{(x+1) ^{6}}}

\sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}}  = \sqrt[6 \cdot 2]{(\frac{xz}{2x - 1}) ^{2}}  = \sqrt[12]{\frac{ x^{2}z ^{2} }{(2x - 1)^{2}}}

Vedi programma di matematica secondo superiore