Esercizi sul M.C.D. e m.c.m fra polinomi

Esercizio n° 1

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³ + 2a² – 3a;           5a³-5a;           a² – a³.

Esercizio n° 2

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

x² – xy;          xy – y²;               x²-y².

Esercizio n° 3

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8 – x³;           6x² – x³ – 12x + 8;            x² – 4x   +4.

Esercizio n° 4

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³b – 2a²b²;          a³-4a²b + 4ab²;            a²b² -4b^{4}.

Esercizio n° 5

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8x³ – 2x + 1 – 4x²;          4x² – 4x + 1;            1 – 4x².

Esercizio n° 6

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x² – 4)(x² + 9);             (x³ + 9x)(x²+4x + 4);          x³ – 4x

Esercizio n° 7 

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

6 – x – x²;          x³ – 7x + 6;           x² – 3x + 2.

Esercizio n° 8

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x – y)(x² – 4y²);             x² – 3xy + 2y²;            x² + xy -2y²

  

Svolgimento

Esercizio n° 1

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³ + 2a² – 3a;           5a³-5a;           a² – a³.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1) a³ + 2a² – 3a = a(a² + 2a – 3)  il polinomio di secondo grado lo si può ancora scomporre secondo la regola dei particolari trinomi di secondo grado.

Quindi a² + 2a – 3 considerando due numeri la cui somma sia uguale a – 3 e il cui prodotto uguale a +2. I numeri sono +3 e  – 1. Quindi:

a(a² + 2a – 3)= a(a + 3)(a – 1)

2) 5a³-5a= 5a(a² – 1) ma il polinomio di secondo grado è scomponibile secondo la regola di somma per differenza. Quindi:

5a³-5a= 5a(a – 1)(a + 1)

3) a² – a³= –a²(a – 1) per rendere questo polinomio uguale agli altri abbiamo messo in evidenza anche il meno.

Quindi:

M.C.D.(a³ + 2a² – 3a;  5a³-5a;   a² – a³) = a(a-1);

m.c.m.(a³ + 2a² – 3a;  5a³-5a;   a² – a³) =5a²(a + 3)(a – 1)(a+1)

Esercizio n° 2

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

x² – xy;          xy – y²;               x²-y².

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)x² – xy = x(x – y)

2)  xy – y²= y(x – y)

3)  x²-y²= (x-y)(x+y) →differenza di quadrati

M.C.D.(x² – xy;  xy – y²; x²-y²)= x – y

m.c.m.(x² – xy;  xy – y²; x²-y²)= xy(x-y)(x+y) 

Esercizio n° 3

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8 – x³;           6x² – x³ – 12x + 8;            x² – 4x   +4.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)8 – x³= (2 – x)(4 +2x + x²)somma o differenza di cubi

2)6x² – x³ – 12x + 8 = (2 – x)³ cubo di un binomio

3) x² – 4x   +4 = (2 – x)quadrato di un binomio

M.C.D.(8 – x³;  6x² – x³ – 12x + 8;  x² – 4x   +4)= 2 – x

m.c.m.(8 – x³;  6x² – x³ – 12x + 8;  x² – 4x   +4)= (2 – x)³(4 +2x + x²)

Esercizio n° 4

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³b – 2a²b²;          a³-4a²b + 4ab²;            a²b² -4b^{4}.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)a³b – 2a²b²= a²b(a – 2b)

2)  a³-4a²b + 4ab²= a(a² – 4ab + 4b²)= a(a -2b)²quadrato di un binomio

3) a²b² -4b^{4} = b²( a² -4b²)=  b²(a – 2b)(a + 2b)

M.C.D.(a³b – 2a²b²;  a³-4a²b + 4ab²;  a²b² -4b^{4}) = a – 2b

m.c.m.(a³b – 2a²b²;  a³-4a²b + 4ab²;  a²b² -4b^{4})= a²b²(a -2b)²(a + 2b)

Esercizio n° 5

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8x³ – 2x + 1 – 4x²;          4x² – 4x + 1;            1 – 4x².

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)8x³ – 2x + 1 – 4x²=- 4x²(-2x  + 1)+ (-2x + 1)= (1 – 2x)(1 – 4x²)= (1 – 2x)²(1 + 2x)

2) 4x² – 4x + 1 = (1-2x)²quadrato di un binomio

3) 1 – 4x² = (1 – 2x)(1 + 2x)differenza di quadrati

M.C.D.(8x³ – 2x + 1 – 4x²; 4x² – 4x + 1; 1 – 4x²)= 1 – 2x

m.c.m.(8x³ – 2x + 1 – 4x²; 4x² – 4x + 1; 1 – 4x²)= (1 – 2x)²(1 + 2x)

Esercizio n° 6

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x² – 4)(x² + 9);             (x³ + 9x)(x²+4x + 4);          x³ – 4x

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)(x² – 4)(x² + 9)= (x-2)(x +2)(x² + 9)

2)(x³ + 9x)(x²+4x + 4)= x(x² + 9)(x + 2)²

3)(x³ – 4x)= x(x² -4)= x(x-2)(x +2)

M.C.D.[(x² – 4)(x² + 9);  (x³ + 9x)(x²+4x + 4);   x³ – 4x]=x + 2

m.c.m.[(x² – 4)(x² + 9);  (x³ + 9x)(x²+4x + 4);   x³ – 4x]=  x(x² + 9)(x + 2)²(x-2)

Esercizio n° 7 

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

6 – x – x²;          x³ – 7x + 6;           x² – 3x + 2.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)6 – x – x²= -(x² + x – 6) =-(x+3)(x-2)scomposizioni di trinomi particolari

2)  x³ – 7x + 6;= applico Ruffini

P(1)=1 – 7 + 6 = 0

ruffini-29

x³ – 7x + 6= (x – 1)(x² + x – 6)=  (x – 1)(x+3)(x-2)

3) x² – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) trinomio di secondo grado particolare

M.C.M.(6 – x – x²;  x³ – 7x + 6;  x² – 3x + 2)= x – 2

m.c.m.(6 – x – x²;  x³ – 7x + 6;  x² – 3x + 2)= -(x+3)(x-2)(x – 1)

Esercizio n° 8

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x – y)(x² – 4y²);             x² – 3xy + 2y²;            x² + xy -2y²

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)(x – y)(x² – 4y²)=(x – y)(x – 2y)(x + 2y)

2)  x² – 3xy + 2y²= applico Ruffini

P(y)= y² – 3y² + 2y² = 0

ruffini-30

 

x² – 3xy + 2y²= (x – y)(x – 2y)

3) x² + xy -2y²= applico Ruffini

P(y)= y² + y² – 2y²=0

ruffini-31

quindi x² + xy -2y²=(x + 2y)(x – y)

M.C.D.[(x – y)(x² – 4y²);  x² – 3xy + 2y²; x² + xy -2y²]= x – y

m.c.m.[(x – y)(x² – 4y²);  x² – 3xy + 2y²; x² + xy -2y²]= (x – y)(x – 2y)(x + 2y)

 

Programma matematica primo superiore