Esercizio n°1

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

1) \sqrt{\frac{27}{21}}\sqrt{\frac{15}{500}}\sqrt[3]{\frac{4}{250}}\sqrt[3]{\frac{54}{22}}

2) \sqrt[]{2a^{2}b}\sqrt[3]{3b^{6}}\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}

3) \sqrt[3]{x^{5}-3x^{4}y + 3x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3} }

4) \sqrt[]{\frac{x^{2}y-6xy^{2} + 9y^{3}}{x^{2}+2xy +y^{2}}}

5) (a + \frac{a^{2}}{a+b} ) \sqrt[4]{\frac{(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})^{2}}{(4a^{4}+4a^{3}b +a^{2}b^{2})^{3}}

Esercizio n° 2

Portare sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali.

1) \frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} ;  2\sqrt[3]{2a};  \frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}}

2) (x + 1) \sqrt{x + 1}

 

3) \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ a^{2}+2ab+ b^{2}} }

 

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n°1

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

1) \sqrt{\frac{27}{21}}\sqrt{\frac{15}{500}}\sqrt[3]{\frac{4}{250}}\sqrt[3]{\frac{54}{22}}

\sqrt{\frac{27}{21}} prima di tutto semplifichiamo il 27 con il 21 dividendoli per 3. \sqrt{\frac{9}{7}}

\sqrt{\frac{9}{7}} = \sqrt{\frac{3 ^{2}}{7}}  =\sqrt{3^{2}}  · \sqrt{\frac{1}{7}}  = 3\sqrt{\frac{1}{7}}

\sqrt{\frac{15}{500}} prima di tutto semplifichiamo per 5 e otteniamo \sqrt{\frac{3}{100}}

\sqrt{\frac{3}{100}} = \sqrt{\frac{3}{5 ^{2} \cdot2 ^{2}}} =\sqrt{3} · \sqrt{\frac{1}{5 ^{2} \cdot2 ^{2}}} = \sqrt{3} · \frac{1}{10} = \frac{1}{10}\sqrt{3}

\sqrt[3]{\frac{4}{250}} semplifichiamo numeratore e denominatore per 2 e otteniamo \sqrt[3]{\frac{2}{125}}

\sqrt[3]{\frac{2}{125}}\sqrt[3]{\frac{2}{5 ^{3}}} = \frac{1}{5} \sqrt[3]{2}

\sqrt[3]{\frac{54}{22}} semplifichiamo per 2 e otteniamo\sqrt[3]{\frac{27}{11}}

\sqrt[3]{\frac{27}{11}}  = \sqrt[3]{\frac{3 ^{3}}{11}}  = 3\sqrt[3]{\frac{1}{11}}

2) \sqrt[]{2a^{2}b}\sqrt[3]{3b^{6}}\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}

\sqrt[]{2a^{2}b} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{2b}

\sqrt[3]{3b^{6}} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{b^{6}}  = b^{2} \sqrt[3]{3}

\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}} = \sqrt[4]{2^{4}a^{8}b^{3}} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{a^{8}}\cdot \sqrt[4]{b^{3}} = 2\cdot a ^{2} \sqrt[4]{b^{3}}

3) \sqrt[3]{x^{5}-3x^{4}y + 3x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3} } = \sqrt[3]{x^{2}(x^{3}-3x^{2}y + 3x^{}y^{2}-y^{3}) }  = \sqrt[3]{x^{2}(x-y)^{3} }  = (x-y)\sqrt[3]{x^{2}}

4) \sqrt[]{\frac{x^{2}y-6xy^{2} + 9y^{3}}{x^{2}+2xy +y^{2}}}=  \sqrt[]{\frac{y(x^{2}-6xy^{} + 9y^{2})}{(x^ +y^){2}}} =  \sqrt[]{\frac{y(x- 3y)^{2}}{(x^ +y)^{2}}} =   \frac{x- 3y}{x^ +y}\sqrt[]{y}

5)(a + \frac{a^{2}}{a+b} ) \sqrt[4]{\frac{(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})^{2}}{(4a^{4}+4a^{3}b +a^{2}b^{2})^{3}} = (a + \frac{a^{2}}{a+b} )\sqrt[4]{\frac{((a+b)^{3})^{2}}{((2a^{2}+ab)^{2})^{3}} =

 (a + \frac{a^{2}}{a+b} )\sqrt[4]{\frac{(a+b)^{4}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+ab)^{4}(2a^{2}+ab)^{2}} =   \frac{a(a+b) +a^{2}}{a+b}  · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} \sqrt[4]{\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+ab)^{2}}=

  \frac{a^{2}+b +a^{2}}{a+b}    · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} ) ·  \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab} ho semplificato il 4 dell’indice della radice con l’esponente del radicando.

  \frac{2a^{2}+b }{a+b}   · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} ) ·  \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab} semplificando si ottiene   \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab}

Esercizio n° 2

Portare sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali.

1) \frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} ;  2\sqrt[]{2a};  \frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}}

\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{4^{3}}{3^{3}}}  = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{64}{27}}  =semplifichiamo il 9 con il 27 e il 2 con il 64 \sqrt[3]{\frac{32}{3} }

2\sqrt[]{2a};= \sqrt[]{ 2^{2} \cdot  2a} = \sqrt[]{ 2^{3}a}  = \sqrt[]{ 8a}

\frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}} = \sqrt{\frac{2^{2}a^{4}}{3^{2^}b^{2}} =  \sqrt{\frac{2^{2}a^{4}}{3^{2^}b^{2} } \cdot \frac{3b}{4a^{3} semplificando \sqrt{\frac{a}{3b}}

2) (x + 1) \sqrt{x + 1} = \sqrt{ (x + 1) (x + 1)^{2}}  =  \sqrt{  (x + 1)^{3}}

 

3) \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ a^{2}+2ab+ b^{2}} } = \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} }  

= \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} \cdot (\frac{a+b}{a})^{3} } \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} \cdot \frac{(a+b)^{3}}{a^{3}} } dalla radice semplificando  otteniamo = \sqrt[3]{ \frac{a+b}{a} }

Vedi programma di matematica secondo superiore