Esercizi sulla scomposizione con Ruffini

Esercizio n° 1

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ + 3x² – 17x – 30

Esercizio n°2

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ – x² – 5x – 2

Esercizio n°3

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 2b³ +5b² – 4b – 3

Esercizio n°4

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(t)= t³ – 39t + 70

Esercizio n°5

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 4b + 16 +  b^{4} – 2b³ – 10b²

Esercizio n°6

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(y)=  y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4

Esercizio n°7

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)=  a^{5} + 32

Esercizio n°8

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)= a³ – a²b – 3ab² – b³

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ + 3x² – 17x – 30

Cerchiamo se ci sono dei numeri che annullano il polinomio.

P(+1)= 2(1)³ + 3(1)² – 17(1) – 30 = 2 + 3 -17 – 30= -42≠0

P(-1)= 2(-1)³ + 3(-1)² – 17(-1) – 30 = – 2 +3 + 17 – 30 = -12≠0

P(-2)= 2(-2)³ + 3(-2)² – 17(-2) – 30= -16 + 12 +34 – 30 = 0

Il polinomio quindi è divisibile per x + 2.

ruffini-15

2x³ + 3x² – 17x – 30= (x + 2)(2x² – x – 15) ma il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre quindi:

P(x)= 2x² – x – 15

P(3)= 2(3)² – 3 – 15 = 18 – 3 – 15 = 0

Applico Ruffini

ruffini-16

2x² – x – 15 = (x – 3)(2x + 5)

Unendo i risultati otteniamo che la scomposizione di 2x³ + 3x² – 17x – 30=(x + 2)(x – 3)(2x + 5)

Esercizio n°2

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ – x² – 5x – 2

P(1)=  2(1)³ – (1)² – 5(1) – 2 = 2 – 1 – 5 – 2 = – 6≠ 0

P(-1)= 2(-1)³ – (-1)² – 5(-1) – 2= -2 -1 +5 – 2 = 0

Il polinomio è quindi divisibile per x +1

ruffini-17

(x + 1)(2x² – 3x -2) ma il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(x)=2x² – 3x -2

P(1)= 2(1) – 3(1) – 2 = 2 – 3 – 2 = -3 ≠ 0

P( 2)= 2 (2) – 3(2) – 2 =   4 – 6 – 2 = 0

Il polinomio è divisibile per x – 2.

Applico Ruffini

ruffini-18

2x² – 3x -2= (x – 2)(2x + 1)

Unendo tutto avremo che 2a³ – a² – 5a – 2= (x + 1)(x – 2)(2x + 1)

Esercizio n°3

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 2b³ +5b² – 4b – 3

P(1) = 2(1)³ +5(1)² – 4(1) – 3 = 2 + 5 – 4 – 3 = 0

Il polinomio è divisibile per b – 1

Applico Ruffini

ruffini-19

 

2b³ +5b² – 4b – 3= (2b² + 7b + 3)(b – 1) il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(b)=2b² + 7b + 3

P(1)= 2(1)² + 7(1) + 3 = 12

P(-1)= 2(-1)² +7(-1) + 3= 2 – 7 + 3= -2

P(-2)=2(-2)² +7(-2) + 3= 8 – 14 + 3 = -3

P(-3)=2(-3)² + 7(-3) + 3 = 18 – 21 + 3 = 0

Il polinomio è divisibile per b + 3

Applico Ruffini

ruffini-20

2b² + 7b + 3= (2b + 1)(b+3)

Unendo i risultati  2b³ +5b² – 4b – 3= (b – 1)(2b + 1)(b+3)

Esercizio n°4

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(t)= t³ – 39t + 70

P(2) =(2)³ – 39(2) + 70 = 8 – 78 + 70 = 0

Il polinomio è divisibile per t – 2.

Applico Ruffini

ruffini-21

t³ – 39t + 70= (t² + 2t – 35)(t – 2) il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(t)=t² + 2t – 35

P(5)=(5)² +2(5) – 35 = 0

Il polinomio è divisibile per 7 – 5

Applico Ruffini

ruffini-22

 

t² + 2t – 35= (x + 7)(x – 5)

Unendo i risultati  t³ – 39t + 70= (t – 2)(x + 7)(x – 5)

 

Esercizio n°5

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 4b + 16 +  b^{4} – 2b³ – 10b²

P(1)=  4(1) + 16 +  (1)^{4} – 2(1)³ – 10(1)²= 13

P(2)= 4(2) + 16 +  (2)^{4} – 2(2)³ – 10(2)² =  – 16

P(-2)= 4(-2) + 16 +  (-2)^{4} – 2(-2)³ – 10(-2)² = 0

Il polinomio è divisibile per b + 2.

Prima di applicare Ruffini è importante mettere il polinomio in ordine.

P(x)=  b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16

Applico Ruffini

ruffini-23

 b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16= (b³ – 4b² – 2b + 8)(b+ 2) il polinomio di terzo grado si può ancora scomporre.

P(b)=b³ – 4b² – 2b + 8

P(1)= 1³ – 4 – 2 + 8 = +3

P(4)= (4)³ – 4(4)² -2(4) + 8 = 64 – 64 – 8 + 8 = 0

Il polinomio è divisibile per b – 4.

Applico Ruffini

ruffini-24

b³ – 4b² – 2b + 8= (b² – 2)(b – 4)

Unendo  i risultati   b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16= (b + 2)(b² – 2)(b – 4)

Esercizio n°6

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(y)=  y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4

P(4)=  (4)^{4} – 4(4)³ – 2(4)² – 4 = 0

Il polinomio è divisibile per y- 4.

Applico Ruffini

ruffini-25

 

 y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4= (y³ – 2y + 1) (y – 4)il polinomio di terzo grado si può ancora scomporre.

P(y)= y³ – 2y + 1

P(1)= 1 – 2 + 1 = 0

Il polinomio è divisibile per y – 1.

Applico Ruffini

ruffini-26

y³ – 2y + 1= (y² +y – 1)(y – 1) il polinomio di secondo grado anche se si fanno vari tentativi si vede che non è divisibile quindi unendo i risultati avremo:

 y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4=  (y – 4)(y² +y – 1)(y – 1)

Esercizio n°7

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)=  a^{5} + 32

P(-2)=  (-2)^{5} + 32 = -32 + 32 = 0

Il polinomio è divisibile per a + 2

Applico Ruffini

ruffini-27

 a^{5} + 32= (a^{4} -2a³ +4a² – 8a + 16)(a + 2) il polinomio facendo i vari tentativi non è divisibile per nulla.

Esercizio n°8

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)= a³ – a²b – 3ab² – b³

P(-b)=( -b)³ -(- b)²b – 3(-b)b² – b³ = -b³ -b³ +3b³ -b³ = 0

ruffini-28

a³ – a²b – 3ab² – b³= (a² – 2ab -b²)(a + b) il polinomio di 2° grado facendo varie prove non è divisibile per nulla.

Programma matematica primo superiore