Esercizi sulle disequazioni intere

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

5 (x – 1 ) < 2 (x – 3)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

2 (x – 1) + 3 (x – 2) < – 7

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

\frac{1}{2} x – (1 + x) > \frac{3}{2}

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

x – 4 (x + 2) ≤ 2x – [ x – (3 – 4x)]

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

\frac{3}{2} ( x + \frac{1}{2} ) > 2 (x + \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x – \frac{1}{2})

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione letterale  intera nella variabile x.

2(x + 1)(a – 2) + 3a < 3x (a – 4)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

3x  – a(x – a) <  (a – 1) (a + 1) + a + 4

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(2x + 3)a – (2a – x)² >(a – x) (a + x) + 2x +4a²

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(a + x)² – a² > x  (x – 1) + 3     (91)

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(x + \frac{4}{3a})² – x(x +  \frac{4}{3a}) ≥ 3(x +  \frac{4}{3a}) – \frac{8}{3a} – 2x   con a>0    (93)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

5 (x – 1 ) < 2 (x – 3)

5x – 5 < 2x – 6

5x – 2x < -6 + 5

3x  < -1  ⇒  \frac{3}{3}x  <- \frac{1}{3}

x <- \frac{1}{3}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

2 (x – 1) + 3 (x – 2) < – 7    (x < 1\5)

2x – 2 + 3x – 6 < – 7

2x + 3x < -7 + 2 + 6

5x < 1  ⇒ x < \frac{1}{5}

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

\frac{1}{2} x – (1 + x) > \frac{3}{2}    (x < – 5)

\frac{1}{2} x  – 1 – x  > \frac{3}{2}

x – 2 -2x > 3

-x  > 3 + 2 ⇒ -x > 5

x < -5

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

x – 4 (x + 2) ≤ 2x – [ x – (3 – 4x)]

x – 4x -8 ≤ 2x – ( x -3 + 4x)

x – 4x – 8  ≤ 2x –  x + 3 – 4x

x – 4x – 2x + x + 4x  ≤ + 3 + 8

0 ≤ 11     ∀ x ∈ R

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

\frac{3}{2} ( x + \frac{1}{2} ) > 2 (x + \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x – \frac{1}{2})

\frac{3}{2} x + \frac{3}{4} > 2x + 1 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}

\frac{3}{2} x – 2x + \frac{1}{2}x >  1 + \frac{1}{4} – \frac{3}{4}    facciamo il m.c.m. in modo da eliminare il denominatore

\frac{6x - 8x + 2x}{4} > \frac{4 + 1 - 3}{4}

6x – 8x + 2x  > 4 + 1 – 3

0 > 2   impossibile

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione letterale  intera nella variabile x.

2(x + 1)(a – 2) + 3a < 3x (a – 4)

2(ax – 2x + a – 2) + 3a <3ax – 12x

2ax -4x +2a -4 + 3a  <3ax – 12x

2ax -4x -3ax +12x < -2a + 4 – 3a

-ax +8x < -5a +4

x(-a +8)< -5a +4

Discussione

Se -a + 8 > 0 ⇒ a – 8 <0 ⇒  a <8 allora possiamo dividere per – a + 8 senza cambiare il segno alla disequazione (infatti se a fosse 5 avremo -5 + 8 = + 3 il segno sarà positivo così per gli altri numeri più piccoli di 8)e la soluzione sara:

x < \frac{-5a +4}{-a + 8}

Se -a + 8 = 0 ⇒ a = 8

verrebbe x (0) < -5(8) +4  ⇒   0 < -36  impossibile

Se -a + 8 <0 ⇒  a – 8 >0  ⇒  a > 8

allora bisogna cambiare il segno alla disequazione e otterremo:

x > \frac{-5a +4}{-a + 8}

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

3x  – a(x – a) <  (a – 1) (a + 1) + a + 4

3x -ax + a² < a² – 1 +a + 4

3x -ax  <-a² + a² – 1 +a + 4

x(3 – a) < a + 3

Discussione

Se 3 -a >0 ⇒  -3 + a < 0 ⇒  a < 3  allora possiamo dividere per 3 – a senza cambiare il senso alla disequazione e otteniamo:

x < \frac{a + 3}{3 - a}

Se 3 – a = 0 ⇒  a = 3 e avremo:

x(3 – 3) < 3 + 3 ⇒  x(0) < 6 ⇒  0 < 6     ∀ x ∈ R

Se 3 – a <0 ⇒  -3 + a > o ⇒  a > 3  in questo caso il denominatore diventerebbe negativo e quindi per poter dividere per 3 – a cambiamo il senso della disequazione e otteniamo:

x > \frac{a + 3}{3 - a}

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(2x + 3)a – (2a – x)² >(a – x) (a + x) + 2x +4a²  (90)

2ax + 3a – (4a² + x² -4ax) > a² – x² + 2x + 4a²

2ax + 3a – 4a² – x² +4ax > a² – x² + 2x + 4a²

2ax + 4ax -2x > a²+ 4a² + 4a²-3a

6ax  -2x > 9a² -3a

2x(3a – 1) > 3a(3a -1)

2x  > 3a

Discussione

Se 3a – 1 > 0  ⇒  a > \frac{1}{3} allora  la disequazione rimane dello stesso senso e quindi :

x > \frac{3}{2}a

Se 3a – 1 = 0 ⇒ a = \frac{1}{3}

2x (3 ·\frac{1}{3} – 1 ) > 3  ·\frac{1}{3} ( 3·\frac{1}{3} – 1 )

2x(1 – 1 ) > (1 -1 )

0 > 0 impossibile

Se 3a – 1 < 0 ⇒   a < \frac{1}{3} allora  la disequazione cambia il senso  e quindi avremo:

x < \frac{3}{2}a

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(a + x)² – a² > x  (x – 1) + 3

+ + 2ax -a² > – x + 3

2ax + x > 3

x( 2a + 1) > 3

Discussione

Se 2a + 1 > 0 ⇒ a > \frac{1}{2}  la disequazione rimane nello stesso senso

x > \frac{3}{2a + 1}

Se 2a + 1 = 0 ⇒ a = – \frac{1}{2} 

x ( 2 · (- \frac{1}{2} ) + 1)  > 3

x (-1 + 1 ) > 3

0 > 3  impossibile

Se  2a + 1 < 0 ⇒ a <- \frac{1}{2}  allora la disequazione dovrà cambiare il senso quindi:

x <\frac{3}{2a + 1}

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(x + \frac{4}{3a})² – x(x +  \frac{4}{3a}) ≥ 3(x +  \frac{4}{3a}) – \frac{8}{3a} – 2x   con a>0

\frac{16}{9a^{2}}   + \frac{8x}{3a}   – x² – \frac{4x}{3a}   ≥ 3x + \frac{4}{a}   –  \frac{8}{3a} – 2x

\frac{16}{9a^{2}}   + \frac{8x}{3a}    – \frac{4x}{3a}   ≥ x + \frac{4}{a}   –  \frac{8}{3a}

\frac{8x}{3a}    – \frac{4x}{3a}   -x  ≥ + \frac{4}{a}   –  \frac{8}{3a} – \frac{16}{9a^{2}}

\frac{ +24ax -12ax-9a^{2}x }{9a^{2}}    ≥ \frac{ 36a -24a-16}{9a^{2}}

24ax – 12ax – 9a²x ≥ 36a -24a – 16

12ax – 9a²x ≥  12a – 16

3ax (4 – 3a) ≥ -4(-3a + 4)

Discussione

Se 4 – 3a > 0  ⇒ -4 + 3a  < 0 ⇒ a < \frac{4}{3}  la disequazione non cambia e la soluzione è:

3ax ≥ -4 ⇒  x ≥ -\frac{4}{3a}

Se 4 – 3a = 0   a =\frac{4}{3}

3ax ( 4 – 3 · \frac{4}{3}) ≥ -4(-3 · \frac{4}{3} + 4)

3ax (0) ≥ 4 (-4 + 4)

0≥ 0 ∀ x ∈ R

Se 4 – 3a < 0   ⇒ -4 + 3a  >0 ⇒ a >\frac{4}{3}   allora la disequazione cambierà senso e la soluzione è:

x ≤-\frac{4}{3a}