Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{3}{x ^{2}-x - 6}$ + $\frac{5}{x ^{2}+2x}$ = $\frac{2}{x +2}$ – $\frac{2}{x -3}$ (5\6)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{ x^{2}}{x - 3}$ – x – 1 = $\frac{1}{2}$ (-3)

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{x+1}{x-1}$ – 2 = $\frac{2x}{x-1}$ (imposs)

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}}$ + $\frac{20x - 32}{4x}$ = 6 + $\frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}$ (1)

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x}$ + $\frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1}$ = $\frac{x + \frac{3}{2}}{3x}$ + $\frac{8}{3}$ $\frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}$ (1\10)

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15}$ + $\frac{2x + 2}{x + 3}$ = – 1 + $\frac{15 - 9x}{x + 5}$ + 2x (1)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{x}{x ^{2}-4}$ – $\frac{1}{x - 2}$ + $\frac{2}{x ^{2}+4x+4}$ = 0 (imposs)

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{1+2x}{x}$ – $\frac{6x}{3x-1}$ + $\frac{4}{x - 3x ^{2}}$ = 0 (5)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x ( $\frac{1}{x-2}$ + $\frac{1}{1 -x}$ ) – (x – 2) ( $\frac{1}{x -1}$ – $\frac{1}{x}$ ) = $\frac{4}{ x^{2}-2x}$ (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{3}{x ^{2}-x - 6}$ + $\frac{5}{x ^{2}+2x}$ = $\frac{2}{x +2}$ – $\frac{2}{x -3}$ x² – x – 6 = (x -3)(x + 2)

$\frac{3}{(x - 3)(x + 2)}$ + $\frac{5}{x(x +2)}$ = $\frac{2}{x +2}$ – $\frac{2}{x -3}$

$\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x( x- 3)- 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}$ x≠0 ; x – 3≠0 quindi x ≠3 infine x+2≠0 quindi x≠- 2

$\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)} - \frac{2x( x- 3)- 2 x(x +2)}{x(x - 3)(x + 2)} = 0$

$\frac{3x + 5(x - 3)-2x( x- 3)+ 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)} = 0$

3x + 5x – 15 -2x² + 6x +2x² + 4x = 0

18x = + 15

$\frac{18}{18}$ x = $\frac{15}{18}$ ⇒ x = $\frac{15}{18}$ semplificando si ha $\frac{5}{6}$

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{ x^{2}}{x - 3}$ – x – 1 = $\frac{1}{2}$ (-3)

$\frac{ x^{2}}{x - 3}$ – x – 1 – $\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{2 x^{2}-2x(x-3)-2(x-3)-(x.-3)}{2(x - 3)}$ = 0 C.E. x-3 ≠ 0

2x² – 2x² +6x -2x + 6 -x + 3= 0

3x = -3 -6 ⇒ 3x = -9

x = $-\frac{9}{3}$ = -3

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{x+1}{x-1}$ – 2 = $\frac{2x}{x-1}$

$\frac{x+1}{x-1}$ – 2 – $\frac{2x}{x-1}$ =0

$\frac{x+1-2(x -1)-2x}{x-1}$ =0 C.E. x-1 ≠ 0 x ≠1

x + 1 -2x + 2 – 2x = 0

x -2x -2 = -2 – 1

-3x = -3 ⇒ x = $\frac{-3}{-3}$ = +1 impossibile

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}}$ + $\frac{20x - 32}{4x}$ = 6 + $\frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}$

$\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}}$ + $\frac{20x - 32}{4x}$ – 6 – $\frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}$ =0

$\frac{4x(6x + 3) + ( x-2)^{2}(20x - 32)-24x(x-2)^{2}-4(1-x^{2})(x-2)}{4x(x - 2) ^{2}}$ =0 C .E. x≠0 x-2≠ 0⇒ x ≠2

24x² + 12x +( x² + 4 – 4x)(20x – 32) – 24x(x² + 4 – 4x) + (-4 + 4x²)(x – 2) =0

24x² + 12x +20x³ – 32x² + 80x -128 -80x² +128x – 24x³ -96x + 96x² -4x +8 +4x³ -8x² =0

12x +80x +128x -96x -4x = +128 -8

120x = 120 ⇒ x = 1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x}$ + $\frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1}$ = $\frac{x + \frac{3}{2}}{3x}$ + $\frac{8}{3}$ $\frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}$

$\frac{3x + 5}{3x(2x +1)} + \frac{4x ^{2}+9}{(2x -1)(2x + 1)} - (\frac{2x + 3}{2})(\frac{1}{3x}) - \frac{8}{3} (\frac{x ^{2}}{(2x -1)(2x + 1)} )$

$\frac{2(2x-1)(3x + 5)+6x(4x ^{2}+9)-(2x +1)(2x - 1)(2x + 3)- 16x ^{3}}{6x(2x -1)(2x + 1)}$ C.E. 6x≠0⇒ x≠0; 2x – 2≠0 ⇒ 2x = 2⇒ x = 1

(4x -2)(3x + 5) +24x³ +54x -(4x² – 1)(2x + 3) – 16x³ =0 2x + 1 ≠0 ⇒ x ≠ – $\frac{1}{2}$

~~12x²~~ + 20x -6x – 10 ~~+24x³~~ +54x ~~-8x³~~ ~~-12x~~² +2x + 3 – ~~16x³~~ =0

20x -6x +54x +2x = +10 -3

70x = 7 ⇒ x= $\frac{1}{10}$

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15}$ + $\frac{2x + 2}{x + 3}$ = – 1 + $\frac{15 - 9x}{x + 5}$ + 2x

$\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{(x+3)(x+5)}$ + $\frac{2x + 2}{x + 3}$ = – 1 + $\frac{15 - 9x}{x + 5}$ + 2x

$\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+ (x+5)(2x+2)}{(x+3)(x+5)}$ = $\frac{-(x+3)(x+5)+ (x+3)(15-9x)+2x(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+5)}$

$\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+2x ^{2 }+2x+10x+10 }{(x+3)(x+5)}$ = $\frac{-x^{2}-8x-15+15x-9x ^{2}+45 -27x +2x(x ^{2}+8x+15)}{(x+3)(x+5)}$

C.E. x+3 ≠o⇒ x≠-3 e x+5≠o⇒ x≠-5

2x³ +4x² +18 + 2x² + 2x + 10x + 10 = -x² -8x – 15 +15x – 9x² +45 -27x +2x³ +16x² +30x

~~2x³~~ +~~4x²+ 2x²~~ + 2x + 10x +x² +8x -15x + ~~9x²~~ +27x ~~-2x³~~ –~~16x²~~ -30x = -15 +45 -18 -10

2x = 2 ⇒ x = 1

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{x}{x ^{2}-4}$ – $\frac{1}{x - 2}$ + $\frac{2}{x ^{2}+4x+4}$ = 0

$\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x +2)^{2}}$

$\frac{x(x+2)- (x+2)^{2}+2(x-2)}{(x-2)(x +2)^{2}}$ = 0 C.E. x-2≠ 0 ⇒ x ≠2 e x+2≠ 0 ⇒ x ≠ -2

x² +2x – (x² +4x + 4) +2x – 4 = 0

x² +2x – x² -4x – 4+2x – 4 = 0

x² +2x ~~– x²~~ -4x +2x = 8

0 = 8 impossaibile

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{1+2x}{x}$ – $\frac{6x}{3x-1}$ + $\frac{4}{x - 3x ^{2}}$ = 0

$\frac{1+2x}{x} - \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x (1-3x)}$ = 0

$\frac{1+2x}{x} + \frac{6x}{1 -3x} + \frac{4}{x (1-3x)}$ = 0

$\frac{(1+2x)(1-3x)+6x ^{2}+4}{x (1-3x)}$ = 0 C.E. x≠0 e 1-3x≠0 ⇒ x ≠ $\frac{1}{3}$

1 – 3x + 2x -6x² + 6x²+ 4 = 0

– 3x + 2x -6x² + 6x² = -5

-x = -5 ⇒ x = 5

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x ( $\frac{1}{x-2}$ + $\frac{1}{1 -x}$ ) – (x – 2) ( $\frac{1}{x -1}$ – $\frac{1}{x}$ ) = $\frac{4}{ x^{2}-2x}$

$x (\frac{1 - x +x-2}{(x-2)(1-x)} )$ – (x-2) $( \frac{x - x + 1}{x(x -1)} )$ = $\frac{4}{x(x-2)}$

$x (\frac{-1}{(x-2)(1-x)} ) - (x-2)( \frac{1}{x(x -1)} ) = \frac{4}{x(x-2)}$

$\frac{-x}{(x-2)(1-x)} + \frac{-(x-2)}{x(x -1)} = \frac{4}{x(x-2)}$ il meno del primo numeratore lo uso per cambiare il primo denominatore e renderlo uguale al secondo

$\frac{x}{(x-2)(x-1)} + \frac{-(x-2)}{x(x -1)} = \frac{4}{x(x-2)}$

$\frac{x ^{2}+(-x+2)(x-2)-4(x-1)}{x(x-2)(x-1)}$ = 0 C.E. x≠0 e x-2≠0 ⇒ x≠2 e x-1≠0 ⇒ x≠1

x² – x² +2x +2x – 4 = 4x – 4

x² – x² +2x +2x – 4x = -4 + 4

0 = 0 (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)