Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}   (5\6)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}   (imposs)

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}    (1)

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}   (1\10)

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x    (1)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0  (imposs)

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0       (5)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}                                    x² – x – 6 = (x -3)(x + 2)

\frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{5}{x(x +2)} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)}  = \frac{2x( x- 3)- 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}                 x≠0 ;    x – 3≠0 quindi  x ≠3    infine x+2≠0 quindi x≠- 2

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)} - \frac{2x( x- 3)- 2 x(x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}    = 0

\frac{3x + 5(x - 3)-2x( x- 3)+ 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}  = 0

3x + 5x – 15 -2x² + 6x +2x² + 4x = 0

18x = + 15

\frac{18}{18} x = \frac{15}{18}  ⇒  x = \frac{15}{18} semplificando si ha \frac{5}{6}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 – \frac{1}{2}  = 0

\frac{2 x^{2}-2x(x-3)-2(x-3)-(x.-3)}{2(x - 3)}
 = 0                C.E. x-3 ≠ 0

2x² – 2x² +6x -2x + 6 -x + 3= 0

3x = -3 -6   ⇒  3x = -9

x = -\frac{9}{3} = -3

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}

\frac{x+1}{x-1} – 2 – \frac{2x}{x-1}   =0

\frac{x+1-2(x -1)-2x}{x-1}  =0                C.E. x-1 ≠ 0       x ≠1

x + 1 -2x + 2 – 2x = 0

x -2x -2 = -2 – 1

-3x = -3   ⇒ x = \frac{-3}{-3} = +1               impossibile

 

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} – 6 – \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}   =0

\frac{4x(6x + 3) + ( x-2)^{2}(20x - 32)-24x(x-2)^{2}-4(1-x^{2})(x-2)}{4x(x - 2) ^{2}}  =0        C .E.   x≠0   x-2≠ 0⇒  x ≠2

24x² + 12x +( x² + 4 – 4x)(20x – 32) – 24x(x² + 4 – 4x) + (-4 + 4x²)(x – 2) =0

24x² + 12x +20x³ – 32x² + 80x -128 -80x² +128x – 24x³ -96x + 96x² -4x +8 +4x³ -8x² =0

12x +80x +128x -96x -4x = +128 -8

120x = 120   ⇒ x = 1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}

\frac{3x + 5}{3x(2x +1)} + \frac{4x ^{2}+9}{(2x -1)(2x + 1)}  - (\frac{2x + 3}{2})(\frac{1}{3x}) -  \frac{8}{3} (\frac{x ^{2}}{(2x -1)(2x + 1)} )

 \frac{2(2x-1)(3x + 5)+6x(4x ^{2}+9)-(2x +1)(2x - 1)(2x + 3)- 16x ^{3}}{6x(2x -1)(2x + 1)}          C.E. 6x≠0⇒   x≠0;    2x – 2≠0   ⇒  2x = 2⇒  x = 1

(4x -2)(3x + 5) +24x³ +54x -(4x² – 1)(2x + 3) – 16x³  =0                                           2x + 1 ≠0  ⇒   x ≠ –\frac{1}{2}

12x² + 20x -6x – 10 +24x³ +54x -8x³ -12x² +2x + 3 – 16x³ =0

20x -6x +54x +2x = +10 -3

70x = 7 ⇒ x=\frac{1}{10}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{(x+3)(x+5)}         \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+ (x+5)(2x+2)}{(x+3)(x+5)} = \frac{-(x+3)(x+5)+ (x+3)(15-9x)+2x(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+5)}

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+2x ^{2 }+2x+10x+10 }{(x+3)(x+5)}  = \frac{-x^{2}-8x-15+15x-9x ^{2}+45 -27x +2x(x ^{2}+8x+15)}{(x+3)(x+5)}

C.E.             x+3 ≠o⇒   x≠-3   e   x+5≠o⇒   x≠-5

2x³ +4x² +18 + 2x² + 2x + 10x + 10 = -x² -8x – 15 +15x – 9x² +45 -27x +2x³ +16x² +30x

2x³ +4x²+ 2x² + 2x + 10x + +8x -15x + 9x² +27x -2x³16x² -30x = -15 +45 -18 -10

2x = 2 ⇒  x = 1

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0

\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x +2)^{2}}

 \frac{x(x+2)- (x+2)^{2}+2(x-2)}{(x-2)(x +2)^{2}} = 0           C.E.  x-2≠ 0 ⇒ x ≠2  e  x+2≠ 0 ⇒ x ≠ -2

x² +2x – (x² +4x + 4) +2x – 4 = 0

x² +2x – x² -4x – 4+2x – 4 = 0

+2x – x² -4x  +2x = 8

0 = 8 impossaibile

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0

\frac{1+2x}{x} - \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

\frac{1+2x}{x} + \frac{6x}{1 -3x} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

 \frac{(1+2x)(1-3x)+6x ^{2}+4}{x (1-3x)} 
 = 0                 C.E.  x≠0  e  1-3x≠0 ⇒  x ≠ \frac{1}{3}

1 – 3x + 2x -6x² + 6x²+ 4 = 0

– 3x + 2x -6x² + 6x² = -5

-x = -5 ⇒  x = 5

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}

x (\frac{1 - x +x-2}{(x-2)(1-x)} )  – (x-2)( \frac{x - x + 1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

 x (\frac{-1}{(x-2)(1-x)} )  - (x-2)( \frac{1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{-x}{(x-2)(1-x)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}  il meno del primo numeratore lo uso per cambiare il primo denominatore e renderlo uguale al secondo

\frac{x}{(x-2)(x-1)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{x ^{2}+(-x+2)(x-2)-4(x-1)}{x(x-2)(x-1)}    = 0 C.E.  x≠0 e x-2≠0 ⇒ x≠2  e x-1≠0 ⇒ x≠1

x² – x² +2x +2x – 4 = 4x – 4

x² – x² +2x +2x – 4x = -4 + 4

0 = 0   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)