Esercizi sull'identità, svolti per comprenderli meglio

Esercizi sull’identità

Esercizio n° 1

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono identità.

-a + b² + 2(a-b) + (a – b)(a+b) = a + b² – (2b – a²+b²);
3(a – 2)² – 3a(a-4) = 3a (2a – a) + 12(1 – 6a);

Esercizio n° 2

Dire quali delle seguenti uguaglianze sono delle identità .

2x – x (x – 1) + 4 = 3x – (x – 2)(x + 2);
(a-x)(a+x) = a² + x²;
(a + 2) – (2a – 1)² + 7a² = 4(a + 1)² – 1;
2(a – 1) + 3a = 1 – 4(a – 3);
a²+2b² + 2(a² – b²) = 3a²;

Esercizio n° 3

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scrivi la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{1}{a - 1}+2a$ = $\frac{2a ^{2}}{a - 1} - \frac{2a - 1}{a - 1}$

Esercizio n° 4

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}= \frac{a + b}{ab}$

Esercizio n° 5

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{a}{bx}- \frac{a+1}{x} + b =$ $-\frac{1}{x}-$ $\frac{a - b ^{2}}{b} + 1$

Esercizio n° 6

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{a}{a-2}+ \frac{1}{a}=$ $- \frac{2}{a (a - 2)}+ \frac{a + 1}{a - 2}$

Svolgimento

Esercizio n° 1

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono identità.

-a + b² + 2(a-b) + (a – b)(a+b) = a + b² – (2b – a²+b²);

Semplifichiamo prima l’espressione del primo membro:

-a + b² + 2a – 2b + a² ~~– b²~~ ⇒a² + a – 2b

Semplifichiamo poi il secondo membro:

a + b² – 2b + a² – b² ⇒ a² +a – 2b

a² + a – 2b = a² +a – 2b l’uguaglianza è un’identità perchè il primo e il secondo membro, semplificati, forniscono la stessa espressione

3(a – 2)² – 3a(a-4) = 3a (2a – a) + 12(1 – 6a);

Semplifichiamo il primo membro:

3(a² – 4a + 4) – 3a² – 12a ⇒ 3a² – 12a + 12 -3a² – 12a ⇒ – 24a + 12

Semplifichiamo il secondo membro:

6a² – 3a² + 12 – 72a ⇒3a² – 72a + 12 ⇒ a² -24a + 4

– 24a + 12 = a² -24a + 4 non è un’identità perchè i due membri risultano diversi.

Esercizio n° 2

Dire quali delle seguenti uguaglianze sono delle identità .

2x – x (x – 1) + 4 = 3x – (x – 2)(x + 2);

2x -x² +x + 4 = 3x – (x² – 4) ⇒ -x² +3x + 4 = 3x – x² + 4 è un’identità

(a-x)(a+x) = a² + x²;

a²-x²= a² + x² non è un’identità

(a + 2) – (2a – 1)² + 7a² = 4(a + 1)² – 1;

a + 2 – (4a² + 1 – 4a) + 7a² = 4(a² + 1 + 2a) – 1 ⇒ a + 2 – 4a² – 1 + 4a + 7a² =4a² + 4 + 2a – 1 ⇒

⇒ 3a²+ 5a + 1 = 4a² + 2a + 3 non è un’identità

2(a – 1) + 3a = 1 – 4(a – 3);

2a – 2 + 3a = 1 – 4a + 12 ⇒ 5a – 2 = 4a + 13 non è un’identità

a²+2b² + 2(a² – b²) = 3a²;

a²+2b² + 2a² – 2b² = 3a²; ⇒ 3a² = 3a² è un’identità

Esercizio n° 3

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scrivi la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{1}{a - 1}+2a$ = $\frac{2a ^{2}}{a - 1} - \frac{2a - 1}{a - 1}$

Semplifichiamo il primo membro:

$\frac{1}{a - 1}+2a$ ⇒ $\frac{1 + 2a (a-1)}{a-1}$ ⇒ $\frac{1 + 2a ^{2} - 2a}{a-1}$ ⇒ $\frac{ 2a ^{2} - 2a+1}{a-1}$

Semplifichiamo il secondo membro;

$\frac{2a ^{2}}{a - 1} - \frac{2a - 1}{a - 1}$ ⇒ $\frac{ 2a ^{2} - 2a+1}{a-1}$ quindi:

$\frac{ 2a ^{2} - 2a+1}{a-1}$ = $\frac{ 2a ^{2} - 2a+1}{a-1}$ è un’identità valida per a – 1 ≠ 0 quindi a ≠ 1

Esercizio n° 4

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}= \frac{a + b}{ab}$

Esercizio n° 5

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{a}{bx}- \frac{a+1}{x} + b =$ $-\frac{1}{x}-$ $\frac{a - b ^{2}}{b} + 1$

Semplifichiamo il primo membro:

$\frac{a}{bx}- \frac{a+1}{x} + b$ ⇒ $\frac{a - b(a + 1)+b ^{2}x}{bx}$ ⇒ $\frac{a - ba -b+b ^{2}x}{bx}$

Semplifichiamo il secondo membro:

$-\frac{1}{x}-$ $\frac{a - b ^{2}}{b} + 1$ ⇒ $\frac{-b -x (a-b ^{2})+ bx}{bx}$ ⇒ $\frac{-b -x a+xb ^{2}+ bx}{bx}$

$\frac{a - ba -b+b ^{2}x}{bx}$ = $\frac{-b -x a+xb ^{2}+ bx}{bx}$ non è un’identità

Esercizio n° 6

Stabilisci se l’uguaglianza è un’identità e, in caso affermativo, scriviamo la sua condizione d’esistenza affinchè l’identità abbia significato.

$\frac{a}{a-2}+ \frac{1}{a}=$ $- \frac{2}{a (a - 2)}+ \frac{a + 1}{a - 2}$

Semplifichiamo il primo membro:

$\frac{a}{a-2}+ \frac{1}{a}$ ⇒ $\frac{a ^{2} + a - 2}{a(a -2)}$

Semplifichiamo il seconbdo membro:

$- \frac{2}{a (a - 2)}+ \frac{a + 1}{a - 2}$ ⇒ $\frac{-2 + a ^{2} + a }{a(a -2)}$

$\frac{a ^{2} + a - 2}{a(a -2)}$ = $\frac{a ^{2} + a - 2}{a(a -2)}$ è un’identità ma deve essere a≠0 e a-2 ≠0 quindi a ≠ 2