L’operazione inversa della potenza è l‘estrazione della radice non è possibile effettuarla all’interno dell’insieme Q dei numeri razionali, ma bisogna ampliarlo e introdurre i numeri reali R.

I numeri reali comprendono tutti i numeri razionali e quelli irrazionali.

I numeri irrazionali sono quei numeri decimali illimitati non periodici e si ottengono ogni volta che un’estrazione di radice non ha come risultato un numero razionale. Essi sono infiniti

La radice quadrata  di un numero razionale positivo o nullo è quel numero, positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.

\sqrt{a} = b se  a = b²  con a≥0 e b≥0

Come sapiamo per esempio 2 non ha per radice quadrata un numero razionale perchè non esiste alcun numero razionale, che elevato al quadrato dia come risultato 2.

Per esempio se noi dovessimo fare la \sqrt{2} questa è uguale a 1,41421… quindi è un numero decimale illimitato non periodico.

\sqrt[n]{a} è un radicale dove n è l’indice del radicale; a si chiama radicando. Questa scrittura la possiamo leggere come radice ennesima di a.

Un esempio di radicale con indice 3 e radicando 8 è \sqrt[3]{8} che sarà uguale 2³= 8.

Importante ricordare che nei radicali con indice 2 , il 2 non viene scritto e la radice viene detta radice quadrata, per esempio  \sqrt{16}.  Le radici con indice 3 vengono invece dette radici cubiche.

Nell’insieme dei numeri reali non negativi l’operazione di radice è interna , perchè si può dimostrare che la radice n-esima di un numero reale positivo o nullo esiste sempre ed è unica.

Esiste solo la radice di numeri negativi con indice dispari. Vediamo alcuni esempi.

\sqrt{16} = 4, perchè 4² = 16

\sqrt[5]{32} = 2, perchè  2^{5} = 32

\sqrt{0} = 0, perchè   0^{2} = 0

\sqrt[7]{-128} = -2 , perchè  -2^{7} =  = -128

\sqrt[4]{-81} non esiste, perchè non esiste un numero b tale che  b^{4} = -16.

Alcune proprietà dei radicali sono:

\sqrt[1]{a} = a, per esempio \sqrt[1]{7} = 7 perchè 7¹ = 7

\sqrt[n]{0} = 0 infatti  0^{n} = 0

\sqrt[n]{1} = 1

\sqrt[n]{ a^{n}} = a,  per esempio \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{ 4^{3}} = 4

 

Programma di matematica del secondo superiore