La proprietà invariantiva afferma che dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso numero naturale (diverso da 0) sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando.

\sqrt[n]{ a^{p }}  = \sqrt[n\cdot k]{ a^{p \cdot k}}   per esempio \sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot 3]{ 2^{  3}}  = \sqrt[9]{8}  ;    \sqrt[3]{ x^{  2}}   = \sqrt[3\cdot 4]{ x^{2 \cdot 4}}  =  \sqrt[12]{ x^{  8}}

Questa proprietà ci permette di portare per esempio due radicali allo stesso indice. In questo modo è anche più semplice senza dover usare la calcolatrice poter determinare quale numero è più grande.

Quindi per portare due radicali allo stesso indice bisogna:

  • cercare il m.c.m. fra gli indici;
  • trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il m.c.m. trovato.

Per esempio:

\sqrt[5]{2x ^{2}};  \sqrt[4]{x ^{3}}  con x≥0

  • il m.c.m. tra 5 e 4 = 20;
  • a questo punto rendiamo entrambe i radicali con lo stesso indice:

\sqrt[5]{2x ^{2}} = \sqrt[5\cdot 4]{ (2x^{2})^{4}}  = \sqrt[20]{ 16x^{8}}}

\sqrt[4]{x ^{3}} = \sqrt[4\cdot 5]{ (x^{3})^{5}}   = \sqrt[20]{ x^{15}}

Sono entrambe ridotte allo stesso indice cioè 20.

La proprietà invariantive può essere scritta anche in un altro modo:

Dato un radicale , si può ottenere un radicale equivalente  dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune. Questa regola ci permette di effettuare la semplificazione dei radicali.

\sqrt[n\cdot k]{ a^{p \cdot k}} = \sqrt[n]{ a^{p }} , per esempio  \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{ 3^{2 }} = \sqrt{3} ;  \sqrt[12]{ 8^{3 }y^{6 } } = \sqrt[4]{ 8y^{2 }} praticamente per semplificare abbiamo diviso tutti i membri per un divisore comune che nel primo esempio era 2, nel secondo esempio era 3.

Un radicale si dice irriducibile  (cioè che non si può semplificare) quando il suo indice e l’esponente del radicando sono primi fra loro. Per esempio \sqrt[4]{ 5^{3 }}.

Un radicale si può semplificare fino a renderlo irriducibile. Per esempio \sqrt[20]{ 5^{12 }} = \sqrt[20: 4]{ 5^{12: 4 }} = \sqrt[5]{ 5^{3}}

Se si volesse semplificare il radicale \sqrt[4]{(- 5)^{2 }} non possiamo dividere semplicemente per due indice e radicando e scrivere \sqrt{-5}, ma per poter effettuare l’operazione correttamente dobbiamo introdurre il valore assoluto. Perchè (-5)² = (+5)² quindi la radice la possiamo scrivere come:

\sqrt[4]{(- 5)^{2 }} = \sqrt[4]{(+ 5)^{2 }} = \sqrt[4]{\left \| -5 \right \| ^{2}} = \sqrt{\left \| -5 \right \|} = \sqrt{5}

ATTENZIONE

Sono gravi errori:

\sqrt{ a^{2} + b ^{2}} non è uguale ad  a + b

\sqrt{ a^{2} - b ^{2}} non è uguale ad  a – b

\sqrt[4]{a^{2} + b ^{2}}  ≠ \sqrt{a + b}

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Vedi esercizi