Si dice che una frazione è irrazionale se almeno uno dei suoi termini contiene un numero irrazionale. A volte è necessario rendere razionale o a dir meglio razionalizzare il denominatore di una frazione e trasformare la frazione in un’altra equivalente, ma con il denominatore razionale.

Nella razionalizzazione possiamo considerare 2 casi.

1° caso

\frac{a}{b \sqrt[n]{c^{m}} }in questo caso a può essere sia razionale che irrazionale.

\frac{a}{b \sqrt[n]{c^{m}} } = \frac{a\sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}} \sqrt[n]{c^{n -m}}} = \frac{a\sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n -m}} ^{}} = \frac{a\sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m+n -m}} ^{}} = \frac{a\sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{n }} ^{}} = \frac{a\sqrt[n]{c^{n-m}}}{b {c} ^{}}

Esempi

\frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{7} ^{2} = \frac{5\sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{5\sqrt{7}}{14}

\frac{2}{3\sqrt[5]{4}} = \frac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}   = \frac{2\sqrt[5]{2^{3}}}{3\sqrt[5]{2^{2}}\sqrt[5]{2^{3}}}   = \frac{2\sqrt[5]{8}}{3\sqrt[5]{2^{5}}}}   = \frac{2\sqrt[5]{8}}{3\cdot 2}}   = \frac{\sqrt[5]{8}}{3}}

2° caso

\frac{a}{b\sqrt{c} \mp d\sqrt{e}}  quindi il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico:

\frac{a}{b\sqrt{c} \mp d} oppure \frac{a}{b \mp d\sqrt{c}} oppure \frac{a}{\sqrt{b} \mp \sqrt{c}}  oppure \frac{a}{\sqrt{b} \mp{c}}  oppure \frac{a}{b \mp{\sqrt{c}}}

In tutti questi esempi a può essere un’espressione razionale o irrazionale e bisogna supporre i denominatori positivi. Consideriamo il fattore di razionalizzazione di ognuno.

\frac{a}{b\sqrt{c} \mp d\sqrt{e}}  = \frac{a(b\sqrt{c} \pm d\sqrt{e})}{(b\sqrt{c} \mp d\sqrt{e})(b\sqrt{c} \pm d\sqrt{e})}

\frac{a}{b\sqrt{c} \mp d} = \frac{a(b\sqrt{c} \pm d)}{(b\sqrt{c} \mp d)(b\sqrt{c} \pm d)}

\frac{a}{b \mp d\sqrt{c}} = \frac{a(b \pm d\sqrt{c})}{(b \mp d\sqrt{c})(b \pm d\sqrt{c})}

\frac{a}{\sqrt{b} \mp \sqrt{c}}   = \frac{a(\sqrt{b} \pm \sqrt{c})}{(\sqrt{b} \mp \sqrt{c})(\sqrt{b} \pm \sqrt{c})}

\frac{a}{\sqrt{b} \mp{c}}   = \frac{a(\sqrt{b} \pm{c})}{(\sqrt{b} \mp{c})(\sqrt{b} \pm{c})}

\frac{a}{b \mp{\sqrt{c}}}  = \frac{a(b \pm{\sqrt{c}})}{(b \mp{\sqrt{c}})(b \pm{\sqrt{c}})}

Esempi

\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}- \sqrt{2})}{(\sqrt{3}+ \sqrt{2})(\sqrt{3}- \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6}- 2)}{(\sqrt{3})^{2}- (\sqrt{2}^{2})}  = \frac{2(\sqrt{6}- 2)}{3 - 2}  = 2(\sqrt{6}- 2)

\frac{6}{3 - \sqrt{3}}  = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{3^{2} - (\sqrt{3})^{2}}  = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3}}  = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6}}  = 3 + \sqrt{3}

\frac{2}{3\sqrt{2}- 2\sqrt{3}} = \frac{2(3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}- 2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})} = \frac{2(3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^{2}- (2\sqrt{3})^{2}}  = \frac{2(3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})}{18- 12}  = \frac{2(3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})}{6}  = \frac{3\sqrt{2}+ 2\sqrt{3}}{3}

Vedi programma di matematica del secondo superiore 

Vedi gli esercizi