Le disequazioni intere possono essere numeriche o letterali.

Le disequazioni numeriche intere vengono risolte in modo simile a come viene fatto per le equazioni.

Per esempio consideriamo la disequazione:

\frac{2}{3} + 3(x – 1) < \frac{1}{2} (1 + x) + 1      eliminiamo il denominatore effettuando il minimo comune multiplo che è 6

4 + 18(x – 1) < 3 (1 + x) + 6

4 + 18x – 18 < 3 + 3x + 6     trasportiamo i termini con l’incognita x nel primo membro ed i termini noti nel secondo, quindi applichiamo il 1° principio di equivalenza

18x – 3x < 3 + 6 – 4 + 18

15x < 23   dividiamo i membri per 15 e si ottiene:

x < \frac{23}{15}

La disequazione data  è verificata per tutti i valori minori di \frac{23}{15}.

Un altro esempio di disequazione sempre verificata è:

\frac{3}{2}x – 4 < \frac{(x-2)}{2} + \frac{(5x+3)}{5}  il m.c.m. è 10

15x – 40 < 5x – 10 + 10x + 6

15x – 5x – 10x < – 10 + 6 + 40

0 · x < 36   qualunque valore sostituiamo a x , il prodotto 0 · x vale sempre 0. Poichè la disequazione 0<36 è vera, la disequazione risulta sempre verificata e si scriverà ∀x∈R.

Un esempio di disequazione mai verificata è:

3x – 2 – x > 4 + 2x + 1

2x – 2 > 5 + 2x

2x – 2x > 5 + 2

0 · x > 7

Qualunque valore sostituiamo ad x , otteniamo sempre 0 > 7 , che è una disuguaglianza falsa, quindi risulta mai verificata e si scrive x ∈ R

Per quanto riguarda le disequazioni letterali, come per le equazioni anch’esse letterali intere, è spesso necessaria la discussione.

Per esempio:

a(x – 3) < 2x  + 1

ax – 3a < 2x + 1

ax – 2x <  3k + 1

x(a – 2)  < 3a + 1

Il segno di x dipende dal valore di a, per questo è necessaria la discussione, distinguendo i tre casi:

a – 2 > 0;   a – 2 = 0; a – 2 < 0

Se a – 2 > 0 ⇒ a > 2 quindi possiamo dividere entrambi i membri per a – 2, ottenendo una disequazione dello stesso verso:

x < \frac{(3a + 1)}{(a - 2)}

Se a – 2 = 0 ⇒ a = 2 quindi otteniamo:

x(a – 2)  < 3a + 1 ⇒ x (2 – 2) < 3 · 2 + 1

0 · x < 7 quindi 0 < 7 e la disequazione è sempre verificata ∀x∈R.

Se a – 2 < 0, ossia a < 2, dividendo i due membri per una quantità negativa, dobbiamo invertire il senso della disequazione quindi:

x > \frac{(3a + 1)}{(a - 2)}

Programma matematica primo superiore

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