E’ possibile scrivere i radicali in una forma diversa, in modo da poter estendere il concetto di potenza anche ai numeri razionali.

La potenza con esponente razionale \frac{m}{n} di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice n-esima di  a^{m}.

 a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}   con a≥0

Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.

Esempi:

 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1

 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^{2}}  = \sqrt[3]{25}

 2^{-\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{2^{-4}}  = \sqrt[5]{(\frac{1}{2}  )^{4} = \sqrt[5]{\frac{1}{16}

Prodotto di due potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze di uguali basi è una potenza della stessa base avente per esponente la somma degli esponenti.

Anche se l’esercizio si presentasse con un numero sotto radice noi lo trasformiamo in una potenze.

 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 ^{\frac{4}{3}} =  3^{\frac{1}{2} +\frac{4}{3} } =  3^{\frac{3 + 8}{6}  =  3^{\frac{11}{6}

Divisione di potenze aventi le basi uguali ed esponenti razionale

Il quoto di due o più potenze di uguali basi è una potenza della stessa base avente per esponente la differenza degli esponenti.

 2^{\frac{3}{4}} :  2^{\frac{1}{3}} =  2^{\frac{3}{4} -\frac{1}{3} }  =  2^{\frac{9 - 4}{12}  }  =  2^{\frac{5}{12}  }

Potenze di una potenza

La potenza di una potenza è una potenza della stessa base avente per esponente il prodotto degli esponenti.

\left [  \frac{2}{5}^{\frac{1}{2}  }  \right ] ^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5} ^{\frac{1}{5}}

Vedi programma di matematica del secondo superiore