E’ possibile estendere la definizione di radice ai numeri negativi e, di conseguenza, a tutto l’insieme dei numeri reali, però l’importante che la radice sia negativa. Infatti, se scriviamo \sqrt{-9}  non ha senso perchè il quadrato di un numero reale non può essere mai negativo perchè è sempre maggiore o uguale a 0, al contrario ha senso scrivere \sqrt[3]{-8} perchè (-2)³ = -8.

Quindi in generale , la potenza con esponente dispari di un qualunque numero reale negativo è sempre negativa.

Possiamo quindi affermare che:

Dato il numero naturale dispari n e il numero reale a, si chiama radice n-esima del numero a il numero reale b, avente lo stesso segno di a, la cui potenza n-esima sia uguale ad a .

\sqrt[n]{a}= b ⇒  b^{n} = a

Per esempio \sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{- 5^{3}}  = -125

Se invece l’indice della radice è pari, la radice esiste solo se il radicando è positivo o nullo.

Quindi la radice \sqrt{-9}  non esiste, perchè è impossibile trovare un numero reale che elevato alla seconda  risulti uguale a -9.

CONDIZIONE DI ESISTENZA

La radice di indice pari esiste solo se il radicando è maggiore o uguale a zero. Quindi se il radicando è un’espressione letterale la sua condizione di esistenza (C.E.) sarà porre tutta l’espressione ≥ 0.

Invece la radice con indice dispari esiste sempre sia per il radicando positivo che negativo.

Per esempio: \sqrt[4]{1- 2x} la sua C.E. è   1 – 2x≥0   quindi x ≤ \frac{1}{2}.

IL VALORE ASSOLUTO

Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negativi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari. Quando l’indice è dispari si può procedere al solito modo.

\sqrt{(- 5)^{2}} = \left \|  -5| = 5

Si può considerare un semplice schemino:

\sqrt[n]{a^{n}} = a se n è dispari

\sqrt[n]{a^{n}} = |a| se n è pari

Vedi programma di matematica del secondo superiore