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Tag Archives: FRAZIONI

Confronto tra numeri razionali

CONFRONTO TRA FRAZIONI

  • Due frazioni sono equivalenti se ridotte ai minimi termini hanno per risultato la stessa frazione irriducibile.

Per esempio \frac{12}{15} e \frac{28}{35}  quindi  \frac{12}{15}  = \frac{12:3}{15 :3} = \frac{4}{5}            \frac{28}{35}\frac{28:7}{35:7} =  \frac{4}{5}  le frazioni date quindi sono equivalenti perchè ridotte ai minimi termini hanno per risultato la stessa frazione irriducibile.

Per stabilire se una frazione è maggiore, minore o uguale ad un altra si fanno dei ragionamenti.

  • Ogni frazione propria è sempre minore di una frazione impropria  \frac{3}{7} < \frac{6}{5}  ;  \frac{11}{12} <\frac{4}{3}
  • Date due frazioni con lo stesso denominatore è sempre minore quella con il numeratore minore \frac{4}{9} < \frac{7}{9}. Infatti dividendo due interi nello stesso numero di parti, quindi con la stessa unità frazionaria,vediamo confermato quello già detto.
FRAZIONI

confronto di frazioni

  • Se abbiamo due frazioni proprie per sapere qual è più grande si ridurranno allo stesso denominatore e a quel punto si guarderà il numeratore più grande, allora quella sarà la frazione maggiore  \frac{3}{4}  e  \frac{6}{7}  si trasformeranno in due frazioni con lo stesso denominatore quindi \frac{3x7}{4x7} = \frac{21}{28}      \frac{6x4}{7x4}\frac{24}{28}  a questo punto confronteremo il numeratore; il numeratore più grande sarà della frazione più grande  \frac{24}{28} >  \frac{21}{28}   .
  • Due frazioni che hanno lo stesso numeratore \frac{3}{7} e \frac{3}{4} , sarà maggiore quella con il denominatore minore. Consideriamo le frazioni e rappresentiamole graficamente considerando uno stesso intero. L’unità frazionaria sarà diversa: più piccola quando il denominatore è più grande e anche graficamente si vede che \frac{3}{5}\lt \frac{3}{4}.
frazioni

confronto di frazioni

 

Oltre a tutti questi metodi che possiamo usare per confrontare due frazioni, un altro molto veloce che si può usare è quello del prodotto in croce. Chiamiamo diagonale principale quella in cui si trova il numeratore della prima frazione, diagonale secondaria l’altra.

Se il prodotto sulla diagonale principale è minore di quello sulla diagonale secondaria, la prima frazione è minore della seconda; in caso contrario la prima frazione è maggiore della seconda.

Per esempio confrontiamo \frac{4}{9} e \frac{5}{12} ;  dalla prima diagonale otterremo 4 · 12 = 48, dalla seconda diagonale otterremo 5 · 9 = 45 quindi  48 > 45  dunque  \frac{4}{9}\frac{5}{12}.

Lo stesso vale se si considerano i numeri interi, ma il segno meno lo si attribuisce solo ai numeratori.Per esempio confrontiamo -\frac{1}{2} e -\frac{2}{3}    avremo (-1 )·3 = -3 e (- 2 ) · 2 = -4  quindi -3>-4 ⇒-\frac{1}{2}>-\frac{2}{3}

Vedi gli esercizi

Proprietà invariantiva della frazione

Proprietà invariantiva

Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da zero sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente. Allo stesso modo si può dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0, purchè sia divisore di entrambi.

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot3   }{5  \cdot3       } = \frac{6}{30}

Vedi gli esercizi sulle frazioni equivalenti

La semplificazione delle frazioni

Data una frazione, quando applichiamo la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero, diciamo che semplifichiamo la frazione.

Se semplifichiamo la frazione il più possibile, si giungerà alla frazione ridotta ai minimi termini, nella quale numeratore e denominatore non hanno più divisori in comune.

Per ridurre una frazione ai minimi termini bisogna dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D.

Per esempio:

\frac{25}{60} = il loro M.C.D  è 5 quindi: \frac{25: 5}{60: 5} = \frac{ 5}{12}

\frac{150}{180 }=  \frac{150: 10}{180: 10}= \frac{15}{18} ma si può ancora semplificare infatti \frac{15}{18}= \frac{15:3}{18: 3}= \frac{5}{6}

Riduzione a denominatore comune

Per ridurre a denominatore comune significa trovare altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a quella data.

Si applica sempre la proprietà invariantiva. Per semplicità tra tutti i denominatori comuni si sceglie il più piccolo, cioè il m.c.m.

Esempio:

\frac{ 5}{6}  e \frac{ 4}{15}   Si vede il m.c.m tra 6 e 15 = 30

\frac{ 5 x 5}{6 x 5} = \frac{25}{30}

\frac{ 4 x 2}{6 x 2} = \frac{8}{30}

\frac{7}{15}\frac{1}{30} e \frac{3}{10} Si vede il m.c.m tra 15, 30 e 10 = 30

\frac{7}{15}\frac{7x 2}{15x 2}\frac{14}{30}

\frac{1}{30}\frac{1}{30}

\frac{3}{10} = \frac{3 x 3}{10 x 3} = \frac{9}{30}

Frazioni equivalenti

Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda.

\frac{a}{b} e \frac{c}{d}  ⇒  a·d= b·c

Per esempio:

\frac{3}{5} e \frac{6}{10}     3·10 = 5 · 6

Un’altra definizione di frazioni equivalenti è:

Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando con esse su una stessa grandezza, si ottengono grandezze congruenti.

Consideriamo le frazioni \frac{1}{2}\frac{2}{4} e \frac{4}{8} ed operiamo con esse su una stessa grandezza.

frazioni

frazioni equivalenti

Dalla definizione di frazioni equivalenti ricaviamo la proprietà invariantiva delle frazioni.

 Vedi gli esercizi

 

Le frazioni

L’insieme Q dei numeri razionali sono i numeri con le frazioni ed esistono sia quelli con il segno + che -.

FRAZIONI

Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, di cui il secondo è diverso da zero.

\frac{m}{n} →linea di frazione    m=numeratore          n=denominatore               n≠0

Quindi per rappresentare in simboli una frazione si scrivono due numeri naturali separati da un tratto orizzontale detto linea di frazione.

Il numero scritto sotto la linea di frazione si dice denominatore e indica in quante parti uguali si deve dividere la grandezza considerata.

Il numero scritto sopra la linea di frazione si dice numeratore e indica quante di tali parti si devono considerare.

Il numeratore e il denominatore si dicono termini della frazione.

Esempio

frazione

rappresentazione di una frazione

\frac{1}{n} = unità frazionaria in quanto sarà solo una la parte da prendere in considerazione.

Le frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore vengono dette proprie  \frac{2}{5}, quella con numeratore maggiore del denominatore improprie  \frac{5}{2}, quelle con numeratore multiplo del denominatore apparenti \frac{10}{2}.

Frazione generatrice dei numeri periodici misti

Frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente :

  • per numeratore la differenza fra il numero dato e scritto per intero senza la virgola e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo;
  • per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono quelle dell’antiperiodo.

Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali misti.

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

 

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI LIMITATI

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI ILLIMITATI

NUMERI DECIMALI PERIODICI SEMPLICI E MISTI

DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE GENERATRICE

Esercizi sui numeri decimali limitati

Riconosci senza eseguire la divisione, quali frazioni danno origine a un numero decimale limitato.

1) \frac{35}{8}

Scomponendo il denominatore in fattori primi si ottiene : 8 = 2³. E’ presente solo il fattore 2 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato; infatti:

35 : 8 = 4,375

2) \frac{37}{20}

Scomponendo il denominatore in fattori primi si ottiene: 20 = 2² x 5. Sono presenti solo i fattori 2 e 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato; infatti:

37 : 20 = 1,85

3) \frac{48}{125}

125 = 5³   E’ presente solo il fattore 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato.

4) \frac{35}{6}   

6 = 2 x 3  E’ presente un fattore diverso da 2 e 5 quindi la frazione non dà origine a un numero decimale limitato.

35 : 6 = 5,83333…

5) \frac{63}{75}  si riduce ai minimi termini  \frac{63}{75}= \frac{21}{25}

25 = 5²  E’ presente solo il fattore 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato.

Frazioni apparenti

FRAZIONI APPARENTI

Una frazione  \frac{m}{n} impropria  si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore.

\frac{3}{3}=3:3=1     \frac{7}{7}=7:7=1       \frac{12}{4}=12:4=3    \frac{6}{3} =6:3=2     \frac{24}{8}=24:8=3

pur presentandosi sotto forma di frazione corrisponde in effetti a numeri naturali.

frazioni

frazioni apparenti

Una frazione si dice propria se rappresenta una parte minore dell’intero. In essa il numeratore è minore del denominatore.

Una frazione si dice impropria se rappresenta una parte maggiore dell’intero. In essa il numeratore è maggiore del denominatore.

Una frazione si dice apparente se rappresenta una parte congruente o multipla dell’intero. In essa il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.

Frazioni improprie

FRAZIONI IMPROPRIE

Una frazione  \frac{m}{n} si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore cioè m≥n:

\frac{9}{4} = 9:4=2,25;   \frac{8}{3} = 8:3= 2,67;      \frac{7}{4}= 7:4=1,75.

frazioni

frazioni improprie

Ogni frazione impropria è maggiore o uguale a uno in quanto il dividendo è maggiore del divisore.

Vedi frazioni proprie e apparenti

 

Frazioni e numeri decimali limitati

Una frazione non apparente, quando ha per denomiatore una potenza di 10, si dice frazione decimale; le altre frazioni si dicono frazioni ordinarie.

Frazioni decimali Frazioni ordinarie
\frac{7}{10},\frac{12}{100},\frac{25}{1000},\frac{111}{10},\frac{2}{1000} \frac{2}{6},\frac{12}{5},\frac{25}{8},\frac{111}{222},\frac{2}{33}

Una frazione decimale genera un numero decimale finito:

\frac{7}{10}= 7 : 10 = 0,7                   \frac{12}{100}= 12 : 1oo = 0,12                   \frac{25}{1000}= 25 : 1000 = 0,025

\frac{111}{10} = 111 : 10 = 11,1             \frac{2}{1000}= 2 : 1000 = 0,002

Alcune frazioni ordinarie possono essere trasformate in frazioni decimali e generare un numero decimale finito:

\frac{7}{20}= \frac{ 7 \times 5}{ 20 \times 5} = \frac{35}{100} = 35 : 100 = 0, 35

\frac{3}{4}= \frac{ 3 \times 25}{ 4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75 : 100 = o,75

\frac{5}{8}= \frac{ 5 \times 125}{ 8 \times 125} = \frac{625}{1000}= 625 : 1000 = 0,625

Non tutte le frazioni ordinarie generano numeri decimali finiti come: \frac{1}{3},\frac{7}{11},\frac{5}{7},\frac{4}{21} ecc.

Scomponendo i denominatori delle frazioni precedenti possiamo constatare che i denominatori contengono come fattori primi solo il 2, il 5 o entrambi:

\frac{7}{20}= 0,35         20 = 2² x 5

\frac{3}{4}= 0,75            4 = 2²

\frac{5}{8}= 0,625          8 = 2³

Quindi abbiamo trovato la regola che ci permette di trovare, senza eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, le frazioni ordinarie trasormabili in numeri decimali limitati.

Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini genera un numero decimale limitato solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori solo 2 o 5 o entrambi.

Vedi gli esercizi

Vedi : DALLA FRAZIONE AL NUMERO DECIMALE

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI ILLIMITATI

NUMERI DECIMALI PERIODICI SEMPLICI E MISTI

DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE GENERATRICE

L’insieme dei numeri razionali assoluti

Tutti i  numeri razionali assoluti formano un nuovo insieme che si indica con  Q^{+}. Nell’insieme  Q^{+} è sempre possibile eseguire la divisione, che quindi è un’operazione interna a  Q^{+}.

L’insieme  Q^{+} è un ampliamento dell’insieme N, ovvero l’insieme  Q^{+} contiene l’insieme N:  N⊂ Q^{+}.

Quindi l’insieme N è un sottoinsieme dell’insieme  Q^{+}.

Quindi ogni numero naturale si può scrivere sotto forma di numero razionale assoluto.

  • Ogni frazione con il numeratore uguale a 0 è uguale al numero naturale 0, ovvero il numero 0 si può sempre scrivere sotto forma di frazione con numeratore uguale a 0:

\frac{0}{1} = 0:1 = 0 ;      \frac{0}{10} = 0:10= 0 ;    \frac{0}{105}  = 0:105= 0…..

  • Ogni frazione apparente con il numeratore uguale al denominatore è uguale a 1; ovvero il numero 1 si può sempre scrivere sotto forma di frazione con numeratore e denominatore uguali:

\frac{5}{5}  = 5:5 = 1;        \frac{22}{22}  = 22:22 = 1;     \frac{35}{35}  0 35:35 = 1…..

  • Ogni frazione con il denominatore uguale a 1 o con il numeratore multiplo del denominatore è uguale a un numero naturale, ovvero ogni numero naturale si può sempre scrivere sotto forma di frazione con denominatore uguale a 1 o numeratore multiplo del denominatore:

\frac{5}{1}  = 5:1 = 5;     \frac{10}{5}  = 10:5 = 2;    \frac{45}{9} = 45:9 = 5…..

Anche i numeri razionali , come i numeri naturali, possono essere rappresentati su una retta orientata.

numeri razionali

rappresentazione numeri razionali assoluti