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Tag Archives: PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

Area della corona circolare

AREA DELLA CORONA CIRCOLARE

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L’area di una corona circolare si ottiene sottraendo dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore.

Vedi gli esercizi

Misura della diagonale di un cubo

La misura della diagonale di un cubo si ottiene moltiplicando la misura dello spigolo per \sqrt{3}.

Nel caso del cubo, indicando con l la misura dello spigolo avremo:

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la diagonale del cubo

Vedi gli esercizi

Volume di una sfera

Una sfera è equivalente a un cono avente la base equivalente alla superficie della sfera e l’altezza lunga come il raggio della sfera stessa.

Di conseguenza la regola per calcolare il volume è:

La misura del volume di una sfera si ottiene moltiplicando il cubo della misura del suo raggio per \frac{4}{3} π.

V_{sfera}= V_{cono}    =\frac{A_{{b}} \cdot h}{3}   ma   A_{{b}}= 4 \pi r  ^{2}    e       h=r   sostituendo otteniamo:

V_{sfera}=  \frac{ 4 \pi r  ^{2} \cdot r}{3}=  \frac{ 4 }{3}\pi r  ^{3}     da cui si può ricavare la formula inversa:

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Area della superficie della sfera

Per stabilire la superficie della sfera si ricorre a una verifica sperimentale.

Costruiamo il modello della superficie di una sfera con una lamiera di metallo molto sottile ed avente ovunque lo stesso spessore. Ritagliamo poi da un foglio di lamiera dello stesso metallo e dello stesso spessore, quattro dischi (a forma di cerchio), ciascuno con il raggio lungo come quello della sfera cioè sono quattro suoi cerchi massimi. Possiamo verificare con una bilancia che il peso del modello della superficie della sfera e il peso complessivo dei quattro dischi è lo stesso.

Questa osservazione permette di concludere:

L’area della superficie di una sfera è quattro volte l’area di un suo cerchio massimo.

Indicando con r il raggio della sfera e con S l’area della sua superficie avremo:

S = 4 π r²   da cui si ricava la formula inversa   r=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}

Posizione di un piano rispetto a una retta

Un piano α può avere, rispetto a una superficie sferica S di centro O, varie posizioni a seconda della distanza che esso ha dal centro della superficie sferica.

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La sfera

Consideriamo un semicerchio e facciamolo ruotare di un giro completo (360°) intorno alla retta a passante per il diametro AB: si ottiene un solido detto sfera. Quella che si genera è una superficie curva detta superficie sferica.

La sfera è il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio intorno al proprio diametro.

Poichè tutti i punti della semicirconferenza sono equidistanti da O essi rimarranno anche così durante la rotazione. La distanza di un punto qualsiasi dalla superficie sferica dal centro coincide con il raggio della sfera.

La superficie sferica è l’insieme dei punti dello spazio equidistanti da un punto detto centro.

La superficie sferica è l’insieme di tutti i punti che hanno da un punto fisso detto centro, distanze di uguale lunghezza.

Rispetto alla superficie sferica un punto si dice: 

  • interno se la sua distanza dal centro è minore del raggio;
  • esterno se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio.

In una sfera:

  • il centro è centro di simmetria;
  • ogni retta passante per il centro è asse di simmetria;
  • Il centro, le rette e i piani di simmetria di una sfera sono anche centro, assi e piani di simmetria per la superficie sferica che la limita.

Volume di un cono

Prendiamo un cono e un cilindro entrambi cavi con le basi e le altezze congruenti. Riempiamo il cono con la sabbia e notiamo che per riempire il cilindro ci vorranno tre coni pieni di sabbia.Dunque il volume del cono è equivalente a un terzo del volume del cilindro.

Un cono è equivalente alla terza parte di un cilindro avente la base e l’altezza congruenti a quelle del cono.

V_{{cilindro}}= A_{{b}} \cdot h  per cui:

V_{cono} =  \frac{ A_{{b}} \cdot h}{3}  ma  A_{{b}}= \pi r  ^{2}   sostituendo  A_{{b}}  otteniamo:

V_{cono} =  \frac{ \pi r  ^{2} \cdot h}{3}

Le cui formule inverse sono:

r=\sqrt{\frac{V_{cono} \cdot 3 }{ \pi  \cdot h  }}                h= \frac{V _{cono}  \cdot 3 }{\pi r  ^{2}}

Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area della sua base per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto per 3.

VOLUME DI UN CONO EQUILATERO

Un cono è equilatero se l’apotema è lungo come il diametro di base. Quindi a= 2r.

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h=\sqrt{a ^{2} - r  ^{2}}=\sqrt{4r ^{2} - r ^{2}}=\sqrt{3r ^{2} }=r\sqrt{3 }

Calcoliamo ora il volume:

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Area della superficie del cono

Consideriamo il modello di un cono costruito con del cartoncino, tagliamolo lungo una generatrice, per esempio VA e lungo la circonferenza di base.

Stendiamo su un piano la superficie laterale del cono, otteniamo un settore circolare che è costituito dalla superficie laterale del cono e da un cerchio.

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L’area A_{{l}} della superficie laterale di un cono è equivalente a quella di un settore circolare avente il raggio uguale all’apotema a del cono e l’arco congruente alla lunghezza 2πr della circonferenza di base del cono:

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La misura dell’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Se all’area della superficie laterale aggiungiamo l’area del cerchio di base (A_{{b}}) otteniamo l’area della superficie totale (A_{{t}}).

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L’area della superficie totale di un cono si ottiene aggiungendo all’area della superficie laterale l’area della base.

CONO EQUILATERO

Per il cono equilatero a= 2r, otteniamo che:

  • l’area della superficie laterale A_{{l}}=\pi r \cdot a= \pi r \cdot 2r  quindi  A_{{l}}=2 \pi r ^{2}

la cui formula inversa è:  r=\sqrt{\frac{A_{{l}}}{2 \pi }}

  • l’area della superficie totale A_{{l}}=2\pi r  ^{2} + \pi r  ^{2}   diventera:  A_{{l}}=3 \pi r ^{2}

la formula inversa è:  r=\sqrt{\frac{A_{{t}}}{3 \pi }}

 

Il cono

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC e facciamolo ruotare di un giro completo (360°) intorno alla retta a (asse di rotazione) passante per un suo cateto per esempio AC. Otteniamo un solido detto cono circolare retto o semplicemente cono.

Il cono è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno all’asse che è la retta passante per uno dei suoi cateti.

Se tagliamo un cono con un piano passante per l’asse otteniamo una sezione: un triangolo isoscele che ha per base il diametro della base del cono e per altezza la sua altezza e per lato obliquo l’apotema del cono.

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Se tale sezione è un triangolo equilatero, allora l’apotema è congruente con il diametro di base e il cono è detto equilatero.

Il raggio di base r e l’altezza h sono i cateti di un triangolo rettangolo in cui l’apotema rappresenta l’ipotenusa e quindi è possibile applicare il teorema di pitagora:

a= \sqrt{h  ^{2} + r  ^{2}}                h= \sqrt{a ^{2} - r  ^{2}}              r= \sqrt{a ^{2} - h ^{2}}

ESERCIZI

 

Volume di un cilindro

VOLUME DI UN CILINDRO

Per calcolare il volume di un cilindro possiamo considerare un cilindro retto e un prisma aventi la stessa altezza, e disegniamo il prisma in modo cheil poligono regolare  sia inscritto nel cerchio di base del cilindro.

Aumentando sempre più i lati del poligono di base del prisma, la sua area si avvicinerà sempre più all’area del cerchio di base, quindi ad un certo punto il volume del cilindro coinciderà con quello del prisma.

Per calcolare il volume del cilindro possiamo usare la formula usata per i prismi: V= A_{b} · h  ma A_{b}= \pi \cdot  r^{2}  quindi la formula sarà:  V= π r²·h

Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area del cerchio di base per la misura dell’altezza.

Le formule inverse sono:

h= \frac{V}{\pi  r^{2}    e   r= \sqrt{\frac{V}{\pi  h}}

 

VOLUME DI UN CILINDRO EQUILATERO

Nel cilindro equilatero  h=2r   otteniamo:

 V= π r²·h = π r²·2r   quindi:

V=2 π r³

 da cui possiamo ricavare la formula inversa:

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Vedi esercizi