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Tag Archives: PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

Superficie laterale e totale di un cilindro

Consideriamo il modello di un cilindro costruito con del cartoncino, tagliamolo lungo una generatrice AB, e lungo le due circonferenze di base. Stendiamo su un piano la superficie laterale del cilindro, otteniamo il rettangolo ABB’A’ che è il suo sviluppo.

Lo sviluppo della superficie laterale di un cilindro è un rettangolo avente la base lunga come la circonferenza di una delle due basi del cilindro e l’altezza lunga come l’altezza del cilindro.

Indicando con r il raggio della circonferenza di base, con h l’altezza e con A_{{l}} l’area della superficie laterale otteniamo.

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Quindi possiamo dire che: la misura della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza della circonferenza di una base del cilindro per la misura dell’altezza.

Se all’area della superficie laterale aggiungiamo le aree dei due cerchi di base ( 2 · A_{{b}}) otteniamo l’area della superficie totale A_{{t}}.

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La misura dell’area della superficie totale di un cilindro si ottiene addizionando alla misura dell’area della superficie laterale la misura dell’area delle due basi.

CILINDRO EQUILATERO

Nel cilindro equilatero h= 2r per cui:

  • l’area della superficie laterale A_{{l}}=2\pi r \cdot h= 2\pi r \cdot 2r  quindi  A_{{l}}=4 \pi r ^{2}

la cui formula inversa è:  r=\sqrt{\frac{A_{{l}}}{4 \pi }}

  • l’area della superficie totale A_{{t}}=4\pi r  ^{2} + 2\pi r  ^{2}   diventera:  A_{{t}}=6\pi r  ^{2}

la formula inversa è:  r=\sqrt{\frac{A_{{t}}}{6 \pi }}

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Il Cilindro

Consideriamo il rettangolo ABCD e facciamolo ruotare di un giro completo (360°) intorno alla retta a (asse di rotazione) cui appartiene uno dei suoi lati, per esempio il lato AD. La parte di spazio che il rettangolo occupa compiendo la rotazione, ha la forma di un cilindro.

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il cilindro

Il cilindro è il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati.

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Vedi volume del cilindro

Vedi superficie del cilindro

Programma geometria terza media

Poliedri composti

Con prismi e poliedri è possibile costruire altri poliedri detti poliedri composti che si possono ottenere:

  • sovrapponendo due o più poliedri;
  • sottraendo da un poliedro un altro poliedro.

L’area della superficie totale di un solido composto non è costituita da tutte le facce dei poliedri, ma solo da quelle delle facce che si vedono dall’esterno e che immaginariamente si potrebbero dipingere.

VOLUME

Il volume di un solido ottenuto per sovrapposizione si calcola addizionando il volume dei solidi sovrapposti;

Il volume di un solido ottenuto per inserimento di uno nell’altro si calcola sottraendo dal volume del solido esterno il volume del solido interno.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Volume di una piramide

Il volume di una piramide si puo calcolare prendendo una piramide e un prisma cavi aventi le basi equivalenti e per altezza la stessa altezza. Vediamo che se riempiamo la piramide con della sabbia e poi ne travasiamo il contenuto nel prisma: la sabbia lo riempie solo in parte, infatti, per riempire tutto il prisma dovremmo ripetere l’operazione altre due volte, quindi, in tutto tre volte.

Dunque la piramide è equivalente a un terzo del prisma.

Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la base equivalente e l’altezza congruente a quella della piramide.

Il volume della piramide è uguale a quello del prisma tutto diviso tre:

V_{{piramide}}\frac{A_{{b}} \cdot h}{3}   da cui possiamo ricavare le formule inverse che ci permettono di calcolare:

  • l’area di base conoscendo volume e altezza: A_{b}=   \frac{V_{{piramide}} \cdot 3}{h}
  • l’altezza conoscendo volume e area di base: h=   \frac{V_{{piramide}} \cdot 3}{A_{b}}

Il volume di una piramide si ottiene moltiplicando l’area della base per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto per tre.

Tale formula si può calcolare per qualsiasi tipo di piramide anche obliqua.

Vedi gli esercizi

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Superficie laterale e totale di una piramide

Prendiamo il modello di una piramide retta avente per base un quadrilatero, costruito con un cartoncino. Tagliamolo lungo uno spigolo laterale e lungo tutti gli spigoli di base, eccetto uno e stendiamolo su un piano.

Otteniamo così lo sviluppio della superficie totale della piramide. Tale sviluppo è costituito dal poligono di base della piramide e da una figura piana costituita da tanti triangoli quanti sono i triangoli della superficie laterale della piramide aventi tutti per altezza l’apotema della piramide. Questa figura piana è lo sviluppo della superficie laterale della piramide. Osservando questo sviluppo e indicando la misura della lunghezza dei quattro spigoli di base rispettivamente con b, c, d, e e con a la misura dell’apotema della piramide.

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Indicando con A_{{l}} l’area della superficie laterale, con 2p il perimetro di base e con a l’apotema avremo:

A_{l}=  \frac{2p \cdot a}{2} da cui si possono ricavare le formule inverse che ci permettono di calcolare:

  • l’apotema conoscendo l’area della superficie laterale e il perimetro di base :  a=  \frac{2 \cdot A_{l}}{2 p}
  • il perimetro di base conoscendo l’area della superficie laterale e l’apotema : 2p=  \frac{2 \cdot A_{l}}{a}

L’area della superficie laterale di una piramide retta si ottiene moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’apotema e dividendo per due il perimetro ottenuto.

L’area della superficie totale A_{{t}} si otterrà addizionando all’area della superficie laterale l’area di base quindi:

A_{{t}}= A_{{l}} + A_{{b}}  da cui   A_{{l}}= A_{{t}} - A_{{b}}    e      A_{{b}}= A_{{t}} - A_{{l}}

L’area della superficie totale di una piramide retta si ottiene addizionando all’area della superficie laterale l’area del poligono di base.

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Piramide regolare e teorema di Pitagora

PIRAMIDE REGOLARE

Una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.

In una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti tra loro, gli spigoli laterali sono congruenti tra loro, un apotema della piramide si ottiene congiungendo  il vertice della piramide con il punto medio di uno spigolo di base.

PIRAMIDE REGOLARE E TEOREMA DI PITAGORA

Il teorema di Pitagora si può applicare a tutti i triangoli rettangoli che si individuano nella piramide regolare:

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Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Piramide retta

Una piramide si dice retta se nella sua base si può inscrivere un cerchio e il piede dell’altezza coincide con il centro del cerchio.

In caso contrario si dice obliqua.

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Per disegnare un apotema si congiunge il vertice della piramide con uno dei punti di tangenza della circonferenza inscritta nella base.

Indicando con a, h, r rispettivamente l’apotema della piramide, l’altezza e il raggio della circonferenza inscritta, applicando il teorema di Pitagora si ottiene:

a=\sqrt{ h^{2}+r ^{2}}         h=\sqrt{ a^{2}-r ^{2}}      r=\sqrt{ a^{2}-h ^{2}}

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La piramide

La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi detto base e da tanti triangoli quanri sono i lati del poligono di base, aventi tutti un vertice in comune, detto vertice della piramide.

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L’insieme delle facce laterali costituisce la superficie laterale della piramide. La somma della superficie laterale e della superficie di base è la superficie totale.

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Una piramide che ha per base un triangolo, un quadrilatero, un pentagono,… si dice rispettivamente piramide triangolare, quadrangolare, pentagonale,…

Volume del prisma

Consideriamo un parallelepipedo rettangolo e un prisma costruiti con lo stesso materiale e aventi le basi equivalenti e l’altezza di uguale lunghezza. Possiamo verificare che i due solidi sono equivalenti perchè:

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Un prisma  e un parallelepipedo rettangolo che hanno le basi equivalenti e le altezze congruenti sono equivalenti, cioè hanno lo stesso volume.

I due solidi hanno volumi uguali quindi per calcolare il volume del prisma applicheremo la stessa formula usata per calcolare il volume del parallelepipedo rettangolo.

Se indichiamo con A_{{b}} l’area di base e con h la misura dell’altezza del prisma e otteniamo:

V_{{prisma}}= A_{{b}} \cdot h  da cui si ricavano le formule inverse per calcolare:

  • l’area di base conoscendo volume e altezza   A_{{b}}=  \frac{V_{{prisma}}}{h}
  • l’altezza conoscendo il volume e l’area di base:   h=  \frac{V_{{prisma}}}{A_{{b}}}

Il volume di un prisma sia retto che obliquo si ottiene moltiplicando l’area di base per l’altezza.

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Volume di un cubo

Il cubo, è un parallelepipedo rettangolo avente le tre dimensioni tutte di uguale lunghezza quindi:

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V_{{parallelepipedo}}=a \cdot b \cdot c   quindi :

V_{{cubo}}=l \cdot l \cdot l   ⇒   V_{{parallelepipedo}}= l  ^{3}

da cui si ricava la formula inversa per calcolare lo spigolo conoscendo il volume:

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Il volume di un cubo si calcola elevando al cubo la misura del suo spigolo.

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