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Tag Archives: PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

Volume di un solido

Lo spazio occupato da un solido si chiama estensione. Due figure solide congruenti hanno la stessa estensione.

Solidi diversi hanno in genere estensioni diverse, ma può accadere che abbiano uguale estensione: in questo caso si dicono equivalenti o equiestesi.

Per misurare l’estensione di un solido bisogna confrontare l’estensione del solido considerato con quella di un altro solido scelto come unità di misura e calcolare quante volte l’unità di misura è contenuta nel solido.

Il numero ottenuto si chiama estensione del solido, più comunemente chiamato volume del solido e si indica con la lettera V.

Il volume di un solido è il numero che indica quante volte l’unità di misura scelta è contenuta nel solido considerato.

L’unità di misura del volume è il m³ con i suoi multipli e sottomultipli.

Nei gas e nei liquidi il volume viene a volte espresso usando come unità di misura la capacità  cioe il litro (l) con i suoi multipli e sottomultipli.

E’ importante ricordare che 1 l è equivalente a 1 dm³.

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Relazione di Eulero

Un poliedro prende il nome dal numero delle sue facce (il numero minimo è quattro). I poliedri aventi come facce poligoni regolari si dicono poliedri regolari.

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La relazione di Eurelo lega fra loro il numero delle facce (f), con il numero dei vertici (v) e quello degli spigoli (s) di un poliedro convesso secondo la formula:

f + v = s + 2

poliedro f v s f + v s + 2
tetraedo 4 4 6 8 8
pentaedro 5 5 8 10 10
esaedro 6 8 12 14 14
ettaedro 7 10 15 17 17

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Poliedri

Un solido può essere diviso in due sottoinsiemi:

  • solidi delimitati da poligoni: poliedri;
  • solidi delimitati da superfici curve: solidi rotondi o a superficie curva.

POLIEDRI

Un poliedro è una figura solida limitata da poligoni (almeno quattro) situati in piani diversi e disposti in modo che ogni lato sia comune a due poligoni.

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POLIEDRO CONCAVO

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POLIEDRO CONVESSO

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Se non viene specificato vuol dire che stiamo parlando di poliedri convessi.

L’area totale di un poliedro è data dalla somma delle aree delle singole facce che compongono il poliedro.

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Angoloide

Tracciamo da un punto V dello spazio, quattro semirette che hanno origine in V ma appartengono allo stesso piano solo a due a due.

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La parte illimitata di spazio compresa fra questi angoli è detta angoloide.

Il numero minimo di facce che costituiscono un angoloide è tre e si chiama triedo.

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Sezione normale di un diedro

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L’ampiezza della sezione normale è l’ampiezza del diedro.

Osserviamo che si possono disegnare infinite sezioni normali di un diedro perchè da ogni punto dello spigolo si può condurre un piano perpendicolare allo spigolo stesso.

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Un diedro è acuto, retto, ottuso a seconda che la sua sezione normale sia un angolo acuto, retto o ottuso.

Due diedri sono:

  • congruenti se sono congruenti le loro sezioni normali. Per confrontare due diedri si confrontano le loro sezioni normali.

Se due diedri non sono congruenti si dice che è maggiore quello che ha la sezione normale di ampiezza maggiore.

Un diedro si dice convesso, concavo, retto, acuto, ottuso, piatto secondo che la sua sezione normale è un angolo  convesso, concavo, retto, acuto, ottuso, piatto.

  • consecutivo se hanno  come sezioni normali due angoli consecutivi;
  • adiacenti se hanno come sezioni normali due angoli adiacenti.

Un diedro si legge indicando le due lettere dell’alfabeto greco scritte sui semipiani delle sue due facce. Se un diedro è convesso si scrive:

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Se un diedro è concavo si scrive:

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Angolo diedro

Due semipiani α e β aventi la retta origine in comune dividono lo spazio in due regioni ciascuna delle quali si dice angolo diedro o semplicemente diedro.

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In genere si fa sempre riferimento a diedri convessi che verranno semplicemente chiamati diedri.

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Proiezione di un segmento e di una retta su un piano

Consideriamo un piano α e dei segmenti AB, CD, ED non appartenenti al piano α e le proiezioni A’, B’, C’, D’, E’ dei punti A,B,C,D,E,F sul piano stesso.

proiezione

proiezione di un segmento su un piano

La proiezione di un segmento su un piano ha per estremi le proiezioni degli estremi di quel segmento sul piano stesso.

La proiezione di una retta, su un piano non perpendicolare alla retta è la retta che si ottiene congiungendo le proiezioni sul piano di due punti qualsiasi della retta.

proiezione

proiezione di una retta su un piano

Vedi gli esercizi

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Rette nello spazio

Due rette nello spazio se appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari. Tali rette si dicono:

  • incidenti se hanno un solo punto in comune;

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  • parallele se non hanno alcun punto in comune;

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Due rette si dicono sghembe se non sono complanari: esse non hanno alcun punto in comune.

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Piani nello spazio

Due piani nello spazio possono assumere le seguenti posizioni reciproche:

  • i piani α e β sono paralleli: non hanno alcun punto in comune.

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  • i piani α e β sono incidenti: hanno in comune la retta r che si dice intersezione dei due piani.

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Punti e piani nello spazio

Un punto rispetto ad un piano può assumere le seguenti posizioni:

  • il punto A giace sul piano α: il punto A appartiene al piano α ;

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  • il punto P è esterno ad α: il punto P non appartiene ad α;

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Da un punto P tracciamo la retta perpendicolare al piano α che lo interseca nel punto H.

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