Trovi utile il nostro sito?

Aiutaci a promuoverlo

Tag Archives: PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

Rette e piani nello spazio

In generale per individuare un piano sono necessari tre punti non allineati, o una retta e un punto A non appartenente a essa, o due rette incidenti o due rette parallele.

Una retta e un piano possono assumere le seguenti posizioni:

  • la retta giace sul piano, quindi r giace su α: tutti i punti della retta appartengono al piano α;

19

  • s è incidente ad α nel punto P: la retta s ha un solo punto in comune con il piano α ;

20

  • t è parallela ad α: la retta t non ha punti in comune con α.

21

Un caso particolare di retta incidente a un piano è una retta v perpendicolare al piano α. Si scrive v ⊥ α: la retta v incidente al piano α nel punto P è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per P detto piede della perpendicolare.

23

Si dice che una retta è perpendicolare ad un piano se lo incontra in un punto ed è perpendicolare a due rette di quel piano passanti per quel punto.

Programma geometria terza media

Figure solide

Le figure piane sono quelle in cui i punti appartengono tutti ad uno stesso piano. La geometria che si occupa di questo studio si chiama geometria piana. In realtà il piano è un concetto astratto , infatti, nella realtà gli oggetti sono tutti tridimensionali, cioè figure solide con tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza ( o spessore).

Un particolare tipo di rappresentazione che ci permette di riprodurre la profondità quando si vuole disegnare un oggetto tridimensionale in due dimensioni è la prospettiva.Questo metodo consente di disegnare gli oggetti come li vediamo, non come sono in realtà.

Per disegnare i solidi geometrici usiamo abitualmente la prospettiva obliqua:consideriamo, ad esempio, una scatola vista di fronte, di lato e dall’alto in prospettiva obliqua.

18

solido

 

Nel passaggio dalla realtà alla prospettiva, alcune caratteristiche si conservano, altre no, per esempio, osservando la figura sopra possiamo affermare che:

  • le facce frontali, ABFE e DCGH, sono disegnate nella loro vera forma;
  • gli spigoli verticali rimangono verticali e paralleli conservando le loro misure;
  • le ampiezze degli angoli non sempre corrispondono a quelle reali, solo gli angoli delle facce ABFE e DCGH rimangono retti;
  • gli spigoli orizzontali che sono rappresentati in direzione obliqua hanno dimensioni ridotte;
  • i segmenti nascosti sono disegnati in modo che sembrano trasparenti.

Programma geometria terza media

Poligoni regolari e relazione tra lato apotema e raggio

Un poligono regolare è un poligono che ha tutti gli angoli congruenti (equiangolo) e tutti i lati congruenti (equilatero).

In ogni poligono regolare:

  • gli assi si intersecano tutti in uno stesso punto detto circocentro;
  • le bisettrici si intersecano tutte in uno stesso punto detto incentro;
  • i due punti di intersezione coincidono e il punto è detto centro del poligono.

Se dividiamo una circonferenza C in tre o più parti uguali, il poligono che otteniamo congiungendo i punti di suddivisione è un poligono regolare inscritto in C.

13

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile a due circonferenze concentriche.

Il raggio di un poligono regolare è il raggio della circonferenza circoscritta, quindi la distanza di O da un vertice e si indica con r.

L’apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza inscritta, quindi la distanza dal centro O da un lato e si indica con a.

Programma geometria terza media

 

Poligoni regolari e apotema

LUNGHEZZA DELL’APOTEMA DI UN POLIGONO REGOLARE E SUA MISURA

QUADRATO

14

l= \sqrt{ r^{2} + r ^{2}}=\sqrt{ 2 \cdot r^{2} }= r ^{2 } \cdot \sqrt{2}

l= r ·  \sqrt{2}    e     r=  \frac{ l}{ \sqrt{2}}

La misura del lato del quadrato inscritto in una circonferenza si ottiene moltiplicando la misura del raggio per \sqrt{2}.

Possiamo mettere anche in evidenza che:

a= \frac{1}{2} l   cioè   a= o,5 · l

PROBLEMA

ESAGONO REGOLARE

esagono regolare ed apotema

La misura del lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla misura del raggio.

Ricordando che h= \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} poichè h=a si ottiene:

a=  \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2}   cioè  a = l · o,866

TRIANGOLO EQUILATERO

15

l= \sqrt{CD ^{2} - DB  ^{2}} =  \sqrt{(2r) ^{2} - r  ^{2}} =  \sqrt{ 3r  ^{2}} =  r · \sqrt{3} quindi:

l=  r · \sqrt{3}   ed   r = \frac{l}{\sqrt{3}}

La misura del lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza si ottiene moltiplicando la misura del raggio per \sqrt{3}.

Nel triangolo equilatero altezza, mediana, bisettrice e asse coincidono. Il loro punto di incontro O può essere considerato il baricentro della figura per cui:

CO = 2 OH  quindi:

r= 2 · a  allora   a = \frac{1}{2} · r  da cui:

a= \frac{1}{2} ·  \frac{l}{\sqrt{3}}   cioè  a = l · 0,288

Per gli altri poligoni il calcolo è laborioso quindi bisogna osservare la tabella.

poligono regolare numero fisso
triangolo equilatero 0,288
quadrato 0,5
pentagono 0,688
esagono 0,866
ettagono 1,038
ottagono 1,207
ennagono 1,374
decagono 1,539
dodecagono 1,866

L’apotema di un poligono regolare si calcola moltiplicando la misura del lato per un numero fisso.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Quadrilateri circoscritti a una circonferenza

quadrilateri circoscritti a una circonferenza

quadrilateri circoscritti a una circonferenza

Programma geometria terza media

Vedi gli esercizi

Area del segmento circolare

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE

11

 

L’area del segmento circolare è data dalla differenza ( o dalla somma se il segmento è maggiore di un semicerchio) tra le aree del settore circolare corrispondente e del triangolo formato dalla corda del segmento circolare e dai raggi che congiungono il centro con gli estremi della corda.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Area del settore circolare

Consideriamo un cerchio di centro O  e raggio r e in esso settori circolari di ampiezza α, 2α, 3α…

7

Raddoppiando o triplicando l’ampiezza, ci accorgiamo che anche l’area del settore circolare corrispondente raddoppia o triplica. Se il settore coincide con tutto il cerchio l’angolo al  centro corrispondente diventerà 360°. Quindi le due grandezze, ampiezza dell’angolo al centro α e area del settore circolare A_{{s}} sono direttamente proporzionali. Possiamo costruire una tabella di proporzionalità:

area settore A_{{s}} ampiezza angolo α
A_{{s}} α
2 ·A_{{s}} 2 · α
3 · A_{{s}} 3 · α
…………. ………….
A_{{C}} 360°

da tale tabella si ottiene la seguente proporzione:

A_{{S} : A_{{C} = α : 360°

Poichè  A_{{C} = π · r²  si ottiene:

A_{{S} : π r² = α : 360°

Dalle proporzioni precedenti si ricavano le seguenti formule:

 

8

L’area del settore circolare si ottiene dividendo l’area del cerchio a cui appartiene per 360° e moltiplicando il quoziente ottenuto per l’ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in gradi.

Ecco un altro modo per calcolare l’area del settore circolare conoscendo la lunghezza l dell’arco e il raggio r della circonferenza. Dalle proporzioni:

10

L’area del settore circolare si ottiene dividendo per 2 il prodotto della lunghezza dell’arco e della misura del raggio della circonferenza.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Area del cerchio

Consideriamo alcune circonferenze aventi tutti il raggio di uguale lunghezza e in ciascuno di essi è inscritto un poligono regolare.

6

Dall’osservazione della figura rileviamo che l’area della parte di piano limitata dalla circonferenza e dal contorno del poligono diminuisce se si aumenta il numero dei lati del poligono regolare inscritto.

Quindi, se consideriamo un poligono regolare inscritto con un numero molto grande di lati, possiamo intuitivamente affermare che il contorno del poligono si avvicina sempre di più alla circonferenza cioè tende a confondersi con la circonferenza stessa, e l’apotema tende a confondersi con il raggio della circonferenza. Ne deduciamo che un cerchio può essere considerato come un poligono regolare con un numero grandissimo di lati: il contorno di questo poligono è la circonferenza e il suo apotema è il raggio. Quindi la misura dell’area del cerchio si può calcolare usando la formula:

A_{poligono}\frac{2p\cdot a}{2 }

possiamo scrivere che l’area del cerchio (A_{C}) è:

A_{C}= \frac{C \cdot r}{2}

poichè C= 2π · r si ottiene:

A_{C}= \frac{2 \pi \cdot r \cdot r}{2} = \pi \cdot r  ^{2}

A_{C} = \pi \cdot r  ^{2}

da cui si ricava la formula inversa che permette di trovare la lunghezza del raggio data l’area del cerchio:

r= \sqrt{\frac{A _{C}}{\pi}}

L’area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del raggio per π.

Per calcolare il valore dell’area del cerchio approssimato a meno di \frac{1}{100} si usa π= 3,14

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Area di un poligono circoscritto e di un poligono regolare

L’area di un qualsiasi poligono di n lati circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio r equivale alla somma delle aree di n triangoli ottenuti unendo i vertici con il centro O.

Consideriamo il quadrilatero ABCD circoscritto alla circonferenza C di centro O.

area quadrilatero

Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente la base uguale al perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.

L‘area di un poligono circoscritto a una circonferenza è uguale al semiprodotto della misura del perimetro per quella del raggio.

Possiamo ricavare la seguente formula diretta : A\frac{2p \cdot r}{2 }

Le formule inverse permettono di calcolare:

  • la lunghezza del  raggio conoscendo area e perimetro:  r\frac{2 \cdot A}{2 p }
  • la lunghezza del perimetro conoscendo area e raggio: 2p=\frac{2 \cdot A}{r }

Se il poligono è regolare il raggio del cerchio inscritto, coincide con l’apotema, che indichiamo con a :

A\frac{2p \cdot A}{2 }  da cui  a=\frac{2\cdot A}{2p }  e   2p=\frac{2\cdot A}{a }

Possiamo quindi dire che: l’area di un poligono regolare è uguale al semiprodotto della misura del perimetro per quella dell’apotema.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Lunghezza di un arco di circonferenza

Disegniamo una circonferenza C di centro O e raggio r, fissiamo su di essa un arco AB di lunghezza l e indichiamo con α l’ampiezza del corrispondente angolo al centro.

4

Poichè ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti, se raddoppiamo o triplichiamo la lunghezza dell’arco AB anche i corrispondenti angoli al centro diventeranno il doppio o il triplo di α. Se l’arco coincide con l’intera circonferenza, all0ra l’angolo al centro corrispondente diventerà 360°.

misura dell’arco misura dell’angolo α
l α
2 l 2 α
3 l 3 α
C 360°

Le due grandezze, lunghezza dell’arco e ampiezza dell’angolo al centro, sono direttamente proporzionali.

Possiamo scrivere la seguente proporzione:

l : C = α : 360°

poichè  C= 2π · r   si ottiene:

l : 2 π r = α : 360°

Dalla proporzione precedente si ricava:

  • l’ampiezza dell’angolo al centro α noti la lunghezza dell’arco l e la misura della circonferenza C:

formule archi

  • la lunghezza dell’arco l conoscendo l’ampiezza dell’angolo α e la lunghezza della circonferenza C.

formule archi 2

  • la misura di C conoscendo l’ampiezza dell’angolo α e la lunghezza dell’arco l:

formule archi 3

La lunghezza di un arco di circonferenza si ottiene dividendo la lunghezza della circonferenza per 360° e moltiplicando il risultato per l’ampiezza dell’arco espressa in gradi.

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media