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Tag Archives: PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

Proprietà di archi e corde

Proprietà di archi e corde

La perpendicolarea a una corda condotta dal centro della circonferenza divide a metà sia la corda sia l’arco sotteso alla corda ed è detta distanza della corda dal centro.

Per dimostrare quanto detto tracciamo una circonferenza di centro O, una corda AB non passante per il centro, le due semirette OA, OB e la perpendicolare a condotta dal centro alla corda.

Indichiamo con H il punto d’intersezione della retta a con la corda AB e con K il punto d’intersezione con l’arco AB.

archi 1

proprietà archi e corde

ARCHI 2

proprietà archi e corde

Vedi gli esercizi

Programma geometria terza media

Programma geometria terza media

PROGRAMMA GEOMETRIA TERZA MEDIA

CIRCONFERENZA E CERCHIO

CIRCONFERENZA E CERCHIO

CORDE E ARCHI DI UNA CIRCONFERENZA

PROPRIETA’ DI ARCHI E CORDE

POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA CIRCONFERENZA

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE

ANGOLI AL CENTRO

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

RELAZIONE TRA GLI ANGOLI AL CENTRO E GLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

IL CERCHIO E LE SUE PARTI

POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA

POLIGONI CIRCOSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA

QUADRILATERI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA

QUADRILATERI CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA

POLIGONI REGOLARI E RELAZIONE TRA LATO, APOTEMA E RAGGIO

LUNGHEZZA DELL’APOTEMA DI UN POLIGONO REGOLARE E SUA MISURA

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA

AREA DI UN POLIGONO CIRCOSCRITTO E DI UN POLIGONO REGOLARE

MISURA DELL’AREA DEL CERCHIO

AREA DELLE PARTI DEL CERCHIO

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE NOTA LA LUNGHEZZA DELL’ARCO E IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE 

AREA DELLA CORONA CIRCOLARE

I SOLIDI

FIGURE SOLIDE

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

PUNTI E PIANI NELLO SPAZIO

PIANI NELLO SPAZIO

RETTE NELLO SPAZIO

PROIEZIONE DI UN SEGMENTO E DI UNA RETTA SU UN PIANO

ANGOLO DIEDRO

SEZIONE NORMALE DEL DIEDRO

ANGOLOIDE

POLIEDRI

COSA SONO I POLIEDRI

RELAZIONE DI EULERO

VOLUME DI UN SOLIDO

IL PESO SPECIFICO

PRISMI E PIRAMIDI

PRISMA

PARALLELEPIPEDO

CUBO

MISURA DELLA SUPERFICIE DEL PRISMA RETTO

MISURA DELL’ AREA DELLA SUPERFICIE DEL PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

MISURA DELL’ AREA DELLA SUPERFICIE DEL CUBO

MISURA DELLA DIAGONALE DEL PARALLELEPIPEDO

MISURA DELLA DIAGONALE DI UN CUBO

VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

VOLUME DEL CUBO

VOLUME DEL PRISMA

PIRAMIDE

PIRAMIDE RETTA

PIRAMIDE REGOLARE E TEOREMA DI PITAGORA

SUPERFICIE LATERALE E TOTALE DI UNA PIRAMIDE

VOLUME DI UNA PIRAMIDE 

POLIEDRI COMPOSTI

SOLIDI DI ROTAZIONE

SOLIDI A SUPERFICIE CURVA: SOLIDI DI ROTAZIONE

CILINDRO

SUPERFICIE LATERALE E TOTALE DEL CILINDRO

VOLUME DI UN CILINDRO

CONO

SUPERFICIE LATERALE E TOTALE DEL CONO

VOLUME DI UN CONO

SFERA

POSIZIONE DI UN PIANO RISPETTO A UNA SFERA

SUPERFICIE SFERICA

MISURA DEL VOLUME DI UNA SFERA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Corde e archi di una circonferenza

Vediamo quali sono le parti fondamentali della circonferenza:

corda e diametro

circonferenza 3

 

ARCHI

Due punti qualsiasi A e B che si trovano su una circonferenza la dividono in due parti, ciascuna delle quali è detta arco di circonferenza:

ARCO

Programma geometria terza media

Vedi: Proprietà degli archi e corde di una circonferenza.

 

Circonferenza e cerchio

La circonferenza è una linea chiuda costituita dall’insieme dei punti del piano equidistanti da un punto del piano stesso, detto centro.

circonferenza 1

circonferenza

La distanza dal centro O da qualsiasi punto della circonferenza è detta raggio e si indica con r.

circonferenza 1

circonferenza e raggio

Ogni punto della circonferenza ha come corrispondente nella simmetria di centro O un punto della circonferenza stesso, possiamo quindi concludere che la circonferenza è dotata di un centro di simmetria, il centro della circonferenza stessa.

circonferenza 2

circonferenza

Ogni circonferenza divide il piano in due regioni: una costituita dai punti interni ad essa e l’altra costituita dai punti esterni ad essa. L’insieme dei punti di una circonferenza e dei punti interni ad essa si dice cerchio.

Programma geometria terza media

Addizioni e sottrazioni tra polinomi

L’addizione di due polinomi è un polinomio che ha per termini la somma di tutti i termini dei polinomi addendi.

ESEMPI:

1)  (4a² + 5a³b² + 6a³)+(4a³b² – 6a²b + 3a³)=

=4a²b + 5a³b² + 6a³ + 4a³b² – 6a²b + 3a³= si mettono in evidenza i monomi simili e poi si addizionano;

=(4 – 6a²b + (+5 + 4a³b² + (6 + 3)a³= -2a²b + 9a³b² + 9a³ questo è il polinomio somma

2) (2a²b – 3a + 5ab²) + (a – a²b – 3ab²) + (4a²b – 2a – 4ab²)=

=2a²b – 3a 5ab² + a – a²b – 3ab² 4a²b – 2a – 4ab²=

=(2 – 1 + 4) a²b (-3 + 1 – 2) a+(5 – 3  -4) ab²=

=+5a²b – 4a – 2ab².

La sottrazione tra un polinomio minuendo e un polinomio sottraendo è il polinomio ottenuto dall’addizione del primo con l’opposto del secondo.

ESEMPI

1) (a² + 4a – 2b) – (3a + b)= si riscrivono i monomi e si cambia il segno dei termini del secondo polinomio;

= a² + 4a – 2b – 3a – b = si esegue l’addizione tra  monomi simili;

= a²+ (4 – 3) a+(-2 – 1) b= a²+ a – 3b

2) (-3a ^{4}+2a ^{3}b-5ab ^{2}+b ^{7})-(7a ^{4}+4a ^{3}b-7ab ^{2}+b ^{7})= togliamo le parentesi cambiando di segno a tutti i monomi della seconda parentesi;

-3a ^{4}+2a ^{3}b-5ab ^{2}+b ^{7}+-7a ^{4}-4a ^{3}b+7ab ^{2}-b ^{7}= individuiamo i monomi simili e poi scriviamo tra parentesi la somma algebrica dei coefficienti con il loro segno e facciamo precedere la parentesi dal segno più:

=(-3-7)a ^{4}+(+2-4)a ^{3}b+(-5+7)ab ^{2}+(+1-1)b ^{7}=

=-10a ^{4}-2a ^{3}b+2ab ^{2}

3) (2a² – 2ab +3b²) – (4a² + 2ab – 3b²)=

2a²-2ab+3b²-4a²-2ab+3b²= individuiamo i monomi simili

= (2-4) a² + (-2 – 2) ab + (+3 + 3) b²=

=-2a² – 4ab + 6b²

 Vedi gli esercizi

Programma matematica primo superiore

Programma matematica terza media

Piano cartesiano

Consideriamo due rette perpendicolari xx’ e yy’ aventi il punto in comune O. Queste rette dividono il piano in quattro regioni che chiamiamo quadranti, di cui indichiamo con 1° quello in alto a destra e con 2°,3° e 4° gli altri, seguendo il verso antiorario.

Le rette xx’ e yy’ si dicono assi cartesiano ortogonali ed il punto O d’intersezione degli assi , si dice origine degli assi. L’origine degli assi divide gli assi in un semiasse positivo ed uno negativo.

L’asse orizzontale è detto asse dell’ascisse o asse delle x.

l’asse verticale è detto asse delle ordinate o asse delle y.

assi cartesiani

Quadranti del piano cartesiano

 

1° Quadrante: ascissa positiva; ordinata positiva.

2° Quadrante: ascissa negativa; ordinata positiva.

3° Quadrante: ascissa negativa; ordinata negativa.

4° Quadrante: ascissa positiva; ordinata negativa.

Se consideriamo un punto in tale piano cartesiano, formato dagli assi x e y che si incontrano nell’origine O, ogni punto P del piano è associato a una coppia ordinata di numeri relativi (x,y) cioè le sue coordinate cartesiane; l’ascissa x e l’ordinata y.

Ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde uno e un solo punto P nel piano o viceversa.

Il valore assoluto delle coordinate indica la distanza del punto dagli assi, il segno indica la posizione rispetto agli assi.

Il segno dell’ascissa x indica la posizione rispetto all’asse y; a destra (+) e a sinistra (-).

Il segno dell’ordinata y indica la posizione rispetto all’asse x sopra (+) e sotto(-)

assi cartesiani

piano cartesiano e coordinate

E’ possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti del pano cartesiano e le coppie ordinate di numeri relativi.

Programma matematica terza media

Espressioni letterali

In matematica si usa spesso rappresentare i numeri mediante le lettere allo scopo di conferire una maggiore generalità alle formule dei problemi.

Ma bisogna stare attenti perché +a non indica che a è un numero positivo, ma +a significa prendere con il proprio segno il numero relativo indicato da a. Invece –a significa prendere con segno cambiato il numero relativo indicato da a.

Le operazioni tra lettere vengono indicate come quelle tra i numeri relativi, solo per la moltiplicazione si potranno scrivere le lettere una attaccata all’altra senza alcun segno fra di esse quindi per esempio ab e non a·b

ESPRESSIONI ALGEBRICHE LETTERALI

Un’espressione letterale è un’espressione in cui compaiono numeri e lettere o solo lettere legate tra loro da segni di operazioni. Essa può avere infiniti risultati a seconda del valore che assumono le lettere a,b,c…. Quindi l’espressione letterale permette di analizzare un problema al variare dei dati.

Calcolare una espressione algebrica letterale significa sostituire alle lettere che vi figurano i numeri relativi assegnati per ciascuna di esse ed eseguire le operazioni che vi sono indicate.

Programma matematica terza media

ESEMPIO 1

\frac{a+ b^{2}}{c}\cdot\frac{c}{2} = \frac{12 +  (-4)^{2}}{8}\cdot\frac{8}{2} =  \frac{12+16}{8}\cdot4=\frac{28}{8}\cdot4=14     per a=12, b=-4, c=8

\frac{a+ b^{2}}{c}\cdot\frac{c}{2} = \frac{-9 +( -3)^{2}}{5}\cdot\frac{5}{2} = \frac{-9+9}{2}= 0   per a=-9, b=-3, c=5

ESEMPIO 2

3ab² -\frac{2}{5}ab-\frac{3}{4}ab ^{2}+\frac{1}{4}ab=

=(3- \frac{3}{4})ab ^{2}+(-\frac{2}{5}+\frac{1}{4})ab=

=(\frac{12-3}{4})ab ^{2}+(\frac{-8+5}{20})ab=     \frac{9}{4}ab ^{2}-\frac{3}{20}ab=       per a=-2;  b= +\frac{2}{3}

=\frac{9}{4}(-2)\cdot(+\frac{2}{3}) ^{2}-\frac{3}{20}\cdot(-2)\cdot(+\frac{2}{3})=

num

abbiamo semplificato tutto ciò che era possibile quindi:

= -2+ \frac{1}{5} = \frac{-10+1}{5}=-\frac{9}{5}