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Esercizi sulle frazioni generatrici dei numeri periodici misti

Frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente :

  • per numeratore la differenza fra il numero dato e scritto per intero senza la virgola e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo;
  • per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono quelle dell’antiperiodo.

Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali misti.

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

 

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri decimali periodici misti.

Esercizi sulle frazioni generatrici dei numeri periodici semplici

Frazione generatrice dei numeri decimali periodici semplici.

La frazione generatrice di un numero periodico semplice è una frazione avente:

  • per numeratore la differenza fra il numero dato scritto senza la virgola e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo;
  • per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo

Scrivi la frazione generatrice dei numeri periodici semplici.

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri periodici semplici

frazioni generatrici

frazioni generatrici dei numeri decimali periodici semplici

 

Esercizi sulle frazioni generatrici dei numeri decimali limitati

Frazione generatrice dei numeri decimali limitati.

La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:

  • per numeratore il numero naturale togliendo la virgola;
  • per denominatore 1 seguito da tanti zeri quanti sono le cifre decimali del numero dato e cioè i numeri dopo la virgola.

Scrivi la frazione generatrice dei numeri decimali limitati.

1) 3,56

Ci sono due cifre decimali quindi:

3,56 = \frac{356}{100}  Questa è la frazione generatrice. Riducendo ai minimi termini si ottiene:

3,56 = \frac{356}{100}  = \frac{89}{25}

2) 0,752

Ci sono tre cifre decimali, quindi:

0,752 = \frac{752}{1 000}  = \frac{94}{125}

3) 0, 054

Ci sono tre cifre decimali quindi:

0,054 = \frac{54}{1000} = \frac{27}{500}

4) 80, 05

Ci sono due cifre decimali quindi:

80,05 = \frac{8005}{100} = \frac{1 601}{20}

5) o,oo5

Ci sono tre cifre decimali quindi

0,005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}

 

 

Esercizi sui numeri decimali illimitati

Numeri decimali illimitati

Si possono presentare due situazioni: il quoziente ottenuto presenta , dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono e  il numero si dice decimale periodico semplice. Oppure  il quoziente ottenuto presenta, dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre che non si ripetono e si dice decimale periodico semplice.

Per maggiori spiegazioni vedi numeri decimali illimitati.

Confronta le coppie di numeri.

numeri decimali

numeri decimali limitati

Scrivi senza eseguire la divisione, quale tipo di numero decimale si ottiene dalle seguenti frazioni.

1) \frac{8}{27}

Scomponendo il denominatore in fattori primi: 27 = 3³.  Non sono presenti i fattori 2 e 5, quindi la frazione dà origine a un numero decimale illimitato periodico semplice; infatti si ottiene:

393

2) \frac{25}{18}

Scomponendo il denominatore in fattori primi  18 = 3² x 2. Vediamo che è presente il fattore 2 e un fattore diverso da due , quindi la frazione dà origine a un numero decimale periodico misto.; si ottiene:

394

3) \frac{21}{45} 

Si riduce la frazione ai minimi termini: \frac{7}{15}. Il denominatore scomposto in fattori primi è : 15 = 3 x 5. E’ presente il fattore 5 e un altro fattore quindi si otterrà un numero decimale periodico misto:

395

4) \frac{33}{12} 

Si riduce la frazione ai minimi termini: \frac{33}{12}= \frac{11}{4}. Il denominatore 4 = 2² contiene solo il 2 come fattore quindi dà origine a un numero decimale limitato:

33 : 12 = 2,75

 

Esercizi sui numeri decimali limitati

Riconosci senza eseguire la divisione, quali frazioni danno origine a un numero decimale limitato.

1) \frac{35}{8}

Scomponendo il denominatore in fattori primi si ottiene : 8 = 2³. E’ presente solo il fattore 2 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato; infatti:

35 : 8 = 4,375

2) \frac{37}{20}

Scomponendo il denominatore in fattori primi si ottiene: 20 = 2² x 5. Sono presenti solo i fattori 2 e 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato; infatti:

37 : 20 = 1,85

3) \frac{48}{125}

125 = 5³   E’ presente solo il fattore 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato.

4) \frac{35}{6}   

6 = 2 x 3  E’ presente un fattore diverso da 2 e 5 quindi la frazione non dà origine a un numero decimale limitato.

35 : 6 = 5,83333…

5) \frac{63}{75}  si riduce ai minimi termini  \frac{63}{75}= \frac{21}{25}

25 = 5²  E’ presente solo il fattore 5 quindi la frazione dà origine a un numero decimale limitato.

Ingrandimenti e riduzioni

Un’applicazione del rapporto fra grandezze omogenee è l’ingrandimento o la riduzione di un oggetto disegnato.

Facciamo degli esempi:

PROBLEMA

Dato il segmento AB lungo 16 cm, costruisci il segmento A’B’ lungo 8 cm e il segmento A”B” lungo 4 cm.

ingrandimento

ingrandimento

Il rapporto fra il segmento ridotto e il segmento di partenza si dice rapporto di riduzione e ha un valore < 1.

PROBLEMA

Dato il segmento CD lungo 7 cm costruisci il segmento C’D’ lungo 14 cm e il segmento C”D” lungo 21 cm.

ingrandimento

ingrandimento

Il rapporto fra il segmento ingrandito e il segmento di partenza si dice rapporto  di ingrandimento e ha un valore >1.

Le rappresentazioni in cui le dimensioni degli oggetti vengono tutte ugualmente ridotte o ingrandite, secondo lo stesso rapporto, sono dette rappresentazioni in scala : riduzione in scala se il rapporto è < 1 ; ingrandimento in scala se il rapporto è > 1 .

La scala è il rapporto tra misura di una distanza sulla carta ( distanza grafica ) e la misura della stessa distanza nella realtà ( distanza reale ) espresse entrambe nella stessa unità di misura.

Vedi gli esercizi

 

Radice quadrata di un numero decimale

Per fare l’estreazione della radice quadrata di un numero decimale, si usa sempre l’algoritmo per l’estrazione della radice quadrata, la cosa che bisogna ricordare che il numero di cifre decimali del radicando deve essere pari e doppio al numero di cifre decimali dell’approssimazione richiesta.

Radice quadrata di un numero decimale

Radice quadrata di un numero decimale

Vedi radice quadrata di un numero decimale finito

Vedi gli esercizi

Radice quadrata approssimata a meno dello 0,1; 0,01

Per effettuare l’estrazione di un numero intero che non sia un quadrato perfetto, si usa l’algoritmo per l’estrazione della radice quadrata e si continua ponendo, dopo l’ultima cifra del radicando, una virgola e aggiungendo 2, 4, 6… zeri se desideriamo un’approssimazione per difetto a meno di 1 decimo, di 1 centesimo, di 1 millessimo e così via.

Vediamo l’esempio:

 

radice

radice quadrata approssimata

Vedi gli esercizi

Radice quadrata approssimata a meno di un’unità

Per calcolare la radice quadrata di un numero, che non sia un quadrato perfetto, a meno di una unità; si applica un algoritmo.

algoritmo

algoritmo estrazione di radice

Il quadrato della radice approssimata per difetto a meno di 1 unità più il resto deve essere uguale al radicando.

Vedi gli esercizi

Frazioni e numeri decimali limitati

Una frazione non apparente, quando ha per denomiatore una potenza di 10, si dice frazione decimale; le altre frazioni si dicono frazioni ordinarie.

Frazioni decimali Frazioni ordinarie
\frac{7}{10},\frac{12}{100},\frac{25}{1000},\frac{111}{10},\frac{2}{1000} \frac{2}{6},\frac{12}{5},\frac{25}{8},\frac{111}{222},\frac{2}{33}

Una frazione decimale genera un numero decimale finito:

\frac{7}{10}= 7 : 10 = 0,7                   \frac{12}{100}= 12 : 1oo = 0,12                   \frac{25}{1000}= 25 : 1000 = 0,025

\frac{111}{10} = 111 : 10 = 11,1             \frac{2}{1000}= 2 : 1000 = 0,002

Alcune frazioni ordinarie possono essere trasformate in frazioni decimali e generare un numero decimale finito:

\frac{7}{20}= \frac{ 7 \times 5}{ 20 \times 5} = \frac{35}{100} = 35 : 100 = 0, 35

\frac{3}{4}= \frac{ 3 \times 25}{ 4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75 : 100 = o,75

\frac{5}{8}= \frac{ 5 \times 125}{ 8 \times 125} = \frac{625}{1000}= 625 : 1000 = 0,625

Non tutte le frazioni ordinarie generano numeri decimali finiti come: \frac{1}{3},\frac{7}{11},\frac{5}{7},\frac{4}{21} ecc.

Scomponendo i denominatori delle frazioni precedenti possiamo constatare che i denominatori contengono come fattori primi solo il 2, il 5 o entrambi:

\frac{7}{20}= 0,35         20 = 2² x 5

\frac{3}{4}= 0,75            4 = 2²

\frac{5}{8}= 0,625          8 = 2³

Quindi abbiamo trovato la regola che ci permette di trovare, senza eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, le frazioni ordinarie trasormabili in numeri decimali limitati.

Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini genera un numero decimale limitato solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori solo 2 o 5 o entrambi.

Vedi gli esercizi