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Tag Archives: programma matematica superiori

Equazioni equivalenti

Equazioni equivalenti

Due equazioni, contenenti le medesime incognite, si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda e tutte quelle della seconda lo sono anche della prima.

Quindi per affermare che due equazioni sono equivalenti non basta che tutte le soluzioni siano anche soluzioni della seconda, ma bisogna che si verifichi anche l’inverso.

Esempio:

x² – 4 =0        e      (2x – 1)(2x +1)= 3(x² + 1)  le soluzioni di entrambe sono x=+2 e x=-2 quindi sono equivalenti.

Consideriamo ora:

x² – 4 =0    e    x +4 = 2; la prima avrà come soluzioni x=+2 e x=-2 mentre la seconda equazione solo x=-2 quindi non sono equivalenti perchè x=2 non è soluzione di entrambe.

L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perchè gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Proprietà riflessiva: ogni equazione è equivalente a se stessa.

Proprietà simmetrica: se 3x – 6 = 0 è equivalente a x-2=0, anche x-2 =0 è equivalente a 3x – 6=0

Proprietà transitiva: se 2x – 4=0 è equivalente a x-2=0 e x-2=0 è equivalente a x=2, allora 2x – 4=0 è equivalente a x=2

Soluzioni di un’equazione

Soluzioni di un’equazione

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori verificano (o soddisfano) l’equazione.

L’equazione :

x – 9 = 1    ha come soluzione x=10.

Quindi risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni , cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza. Tali valori costituiscono l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

Per esempio:

x²= 4  avrà due soluzioni   x=2  e x = -2 .Infatti (2)²= 4 ma anche (-2)²= 4.

Si possono verificare varie situazioni:

  • può capitare che un’equazione non ammetta soluzioni, cioè non esista alcun valore delle incognite che la trasformi in una identità: si dice allora che l’equazione è impossibile. Per esempio sono impossibili le equazioni

5x +3 = 5x + 7  perchè la x va via e  x²= – 4 perchè non vi è alxun numero il cui quadrato sia un numero negativo.

  • Può darsi che un’equazione ammetta un numero illimitato di soluzioni; essa si dice indeterminata. Per esempio l’equazione

3x + 2 =3(x – 2) + 8  ⇒ 3x + 2 = 3x – 6 + 8  il risultato è 0=0 quindi è indeterminata perchè è verificata da tutti gli infiniti valori che si possono attribuire alla x.

  • Infine un’equazione, la quale ammette un numero limitato di radici si dice determinata. Per esempio l’equazione

5x – 6= 3x – 2  ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 quindi questa è l’unica soluzione ammessa dall’equazione. Anche

x² = 16  ⇒ x= 4 e x=-4  quindi è determinata ed ammette due soluzioni.

 

Le equazioni

Consideriamo la seguente eguaglianza:

3x – 4 = x + 6;

è facile constatare che, se si attribuisce alla lettera x un valore numerico a caso, l’uguaglianza non viene verificata.

Per esempio per x= 3        3x – 4 = x + 6 ⇒   3(3) – 4 = 3 + 6⇒     5 = 9  quindi non è un’identità.

Se invece consideriamo x= 5      3x – 4 = x + 6 ⇒  3(5) – 4 = 5 + 6 ⇒    11= 11  in questo caso è un’identità.

Quindi:

Le uguaglianze fra due espressioni letterali che sono verificate solo per particolari valori di alcune lettere si dicono equazioni.

Per esempio l’uguaglianza 2x + 1 = 7 è un’equazione. Essa risulta verificata solo per x= 3.

Lo studio delle equazioni serve appunto a determinare i valori particolari che attribuiti alle lettere trasformano le uguaglianze in identità. A tali lettere si dà il nome di incognite e i valori che la rendono un’identità si chiamano soluzioni o radici dell’equazioni.

Le lettere che compaiono in un’equazione  sono dette incognite e per esempio:

2+ 7= + 4        è un’equazione ad un’ incognita

2y= +14         è un’equazione a due incognite

3x + 2z=44     è un’equazione a tre incognite

I numeri che moltiplicano l’incognita sono detti coefficienti.

I termini che non contengono l’incognita sono detti termini noti.

I valori che, assegnati all’incognita, rendono vera l’uguaglianza si dicono soluzioni o radici dell’equazione.

IL GRADO di un’equazione è il massimo grado dei suoi termini così:

x – 3=2x – 5                 è di primo grado

x² – 3x + 4 = 3x² – 5  è di secondo grado

4x³ + 5x² = x + 12      è di terzo grado

Un’equazione si dice:

  • intera se non appare l’incognita al denominatore \frac{1}{2}x ^{2}+x-1=\frac{3}{4}.
  • frazionaria, quando l’incognita compare al denominatore \frac{7}{x+1}+x=6
  • numerica se oltre all’incognita non compaiono altre lettere \frac{7}{8}x ^{2}+x=\frac{5}{2}
  • letterale se compaiono anche delle lettere 2ax³+5ab=abx+12b
  • determinata quando ammette soluzioni
  • impossibile quando non ammette soluzioni quindi non c’è alcun numero che attribuito alla x verifichi l’equazione 3(x-2)=3x+1
  • indeterminata quando è verificata da qualsiasi valore che si attribuisce all’incognita; cioè quando è un’identità 5x-2=3(x-1)+2x+1

Equazioni equivalenti

Le identità

Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nelle espressioni.

Se noi consideriamo espressioni tipo:

a(b+c) = ab + ac;       (a-b)(a+b) = a²-b²;       (a-b)²= a² – 2ab + b²

vediamo che sono formate da due espressioni che forniscono lo stesso risultato qualunque sia il valore sostituito alle lettere.

Per esempio sostituiamo dei valori qualsiasi alla parte letterale delle espressioni di sopra come a=2; b=1 e c= 3

a(b+c) = ab + ac  ⇒  2(1+3)=2(1) + 2(3) ⇒  8 = 8

(a-b)(a+b) = a²-b² ⇒ (2 -1)(2+1) = 2² – 1¹  3 = 3

(a-b)²= a² – 2ab + b²  ⇒ (2-1)²= 2² – 2(2)(1) + (1)²   ⇒ 1 = 1

Sostituendo altri numeri si arriverà sempre ad ottenere un’identità.

Ciascuna delle due espressioni che costituiscono l’uguaglianza viene detta membro dell’identità. In particolare l’espressione da sinistra è detta primo membro, quella di destra secondo membro.

Un ‘identità la si può individuare facilmente anche senza sostituire la parte letterale riconoscendo che l’espressione scritta al primo membro la si può trasformare in quella del secondo membro con l’applicazione delle operazioni algebriche e delle loro proprietà.

LE CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN’ IDENTITA’

Se, per alcuni valori dati alle lettere, uno o entrambe i valori dell’identità non hanno significato, anche l’identità non ha significato.

Per esempio la frazione algebrica:

\frac{ab}{a} ha significato solo se a≠0 in quanto una frazione  non può avere il denominatore nullo. Quindi tale frazione è un’identità solo se a≠0, ossia C.E. : a≠0

Quindi la C.E. applicata a frazioni alberiche tiene conto del fatto che il denominatore deve sempre essere diverso da zero.

Quoziente di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda.

\frac{A}{B} : \frac{C}{D}\frac{A}{B} · \frac{D}{C}

Bisogna ricordare che si dice frazione reciproca o inversa di una frazione data, la frazione che moltiplicata per quella data dà come prodotto +1. Quindi la reciproca di una frazione si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.

Le condizioni di esistenza sull’operazione\frac{A}{B} : \frac{C}{D} sono B≠0 e D≠0 e C≠0.

Esempi

quoziente

quoziente di frazioni

Vedi gli esercizi

Vedi anche espressioni a due piani

Potenza di frazioni algebriche

La potenza di una frazione algebrica è la potenza che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.

(\frac{A}{B}) ^{n}=\frac{A ^{n}}{B ^{n}}

Bisogna anche ricordare le potenze negative dove (x) ^{-n}= \frac{1}{x ^{n}}

Esempi

potenze-di-frazioni-algebriche

potenze di frazioni algebriche

Esempio con esponente negativo:

\frac{5xy}{a ^{2}} ^{-2}\frac{1}{\frac{5xy}{a ^{2}} ^{2}} = (\frac{a ^{2}}{5xy}) ^{2}}\frac{a ^{4}}{25x ^{2}y^{2}}

Per svolgere tali frazioni basta conoscere le regole delle potenze per i monomi.

Esercizio n° 1

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{-3ab ^{5}}{2a^{2}c^{3}})  ^{2}

Esercizio n° 2

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}-b ^{2}}{a^{2}+2ab+b ^{2}})  ^{3}

Esercizio n° 3

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{3}+x ^{2}y}{x^{2}+2xy+y ^{2}})  ^{3}

Esercizio n° 4

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}+1}{a^{2}-3a-4} - \frac{a+1}{a-4})^{2}

Esercizio n° 5

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(1 - \frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1} )^{2}

Esercizio n° 6

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{6a}{a^{2}-9} + \frac{a}{a+3} + \frac{3}{3-a})^{3}(\frac{b}{b-2} + \frac{8}{4-b^{2}} - \frac{2}{b+2})^{4}

Esercizio n° 7

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}})  ^{-3}

Esercizio n° 8

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y})  ^{3} · (\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y})  ^{-4}

Esercizio n° 9

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{3}}{a^{2}-2a + 4})  ^{2} · (a ^{2}+2a) ^{-3} · (\frac{a^{3}+8}{a})  ^{2}

Esercizio n° 10

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x + 4  · (\frac{x^{2}-4x + 4}{2x^{2}-8})  ^{-1} · (2x) ^{-2}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{-3ab ^{5}}{2a^{2}c^{3}})  ^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

=\frac{(-3b ^{5})^{2}}{(2ac^{3})^{2}}   = \frac{9b ^{10}}{4a^{2}c^{6}}             C.E.  a≠0,  c≠0

Esercizio n° 2

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}-b ^{2}}{a^{2}+2ab+b ^{2}})  ^{3}

L’esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza si deve semplificare la frazione.

(\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}})  ^{3} = semplifichiamo e otteniamo:

\frac{(a-b)^{3}}{(a+b)^{3}}        C.E.       a≠-b

Esercizio n° 3

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{3}+x ^{2}y}{x^{2}+2xy+y ^{2}})  ^{3}=

L’esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza si deve semplificare la frazione.

(\frac{x^{2}(x+y)}{(x+y)^{2}} ) ^{3}=semplifichiamo x+y e otteniamo:

=(\frac{x^{2}}{(x+y)} ) ^{3}=(\frac{x^{2}}{x+y} ) ^{3}=    C.E.     x≠-y

\frac{x^{6}}{(x+y)^{3}}

Esercizio n° 4

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}+1}{a^{2}-3a-4} - \frac{a+1}{a-4})^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

(\frac{a^{2}+1}{(a-4)(a+1)} - \frac{a+1}{a-4})^{2} =    C.E. a≠4;        a≠-1

(\frac{a^{2}+1- (a+1)(a+1)}{(a-4)(a+1)} )^{2} =

(\frac{a^{2}+1- (a+1)^{2}}{(a-4)(a+1)} )^{2}=

=(\frac{a^{2}+1- (a^{2}+2a+1)}{(a-4)(a+1)} )^{2} = (\frac{a^{2}+1- a^{2}-2a-1)}{(a-4)(a+1)} )^{2}

=(-\frac{2a}{(a-4)(a+1)} )^{2} = \frac{4a^{2}}{(a-4)^{2}(a+1)^{2}}

Esercizio n° 5

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(1 - \frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1} )^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

= (1 - \frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}} )^{2}= ( \frac{(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)}{(x-1)^{2}} )^{2}=

= ( \frac{x^{2}-2x + 1-x^{2}+2x}{(x-1)^{2}} )^{2}= ( \frac{1}{(x-1)^{2}} )^{2}=  \frac{1}{(x-1)^{4}} =

Esercizio n° 6

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{6a}{a^{2}-9} + \frac{a}{a+3} + \frac{3}{3-a})^{3}(\frac{b}{b-2} + \frac{8}{4-b^{2}} - \frac{2}{b+2})^{4}

=(\frac{6a}{(a-3)(a+3)} + \frac{a}{a+3} - \frac{3}{a-3})^{2}(\frac{b}{b-2} + \frac{8}{(2-b)(2+b)} - \frac{2}{b+2})^{4}=

=(\frac{6a}{(a-3)(a+3)} +\frac{a}{a+3} - \frac{3}{a-3})^{2} : (\frac{b}{b-2} - \frac{8}{(b-2)(2+b)} - \frac{2}{b+2})^{4}=

=(\frac{6a+a(a-3)- 3(a+3)}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{b(b+2)-8-2(b-2)}{(b-2)(2+b)})^{4}= C.E.    a≠±3;   a≠±2

= (\frac{6a+a^{2}-3a- 3a-9}{(a-3)(a+3)} )^{2} ( \frac{b^{2}+2b-8-2b+4}{(b-2)(2+b)})^{4}=

== (\frac{a^{2}-9}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{b^{2}-4}{(b-2)(2+b)})^{4}=

= = (\frac{(a-3)(a+3)}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{(b-2)(b+2)}{(b-2)(2+b)})^{4}=

= 1: 1 = 1

Esercizio n° 7

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}})  ^{-3}=

In questo caso l’indice e negativo e quindi poichè (x) ^{-n}= \frac{1}{x ^{n}} avremo:

\frac{1}{(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}})  ^{-3}} =(-\frac{1-2a +a^{2}}{a^{2}b ^{3}})  ^{3}}=   C.E.    a≠0; b≠0

=(-\frac{(a-1)^{2}}{a^{2}b ^{3}})  ^{3}}= =-\frac{(a-1)^{6}}{a^{6}b ^{9}}

Esercizio n° 8

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y})  ^{3} · (\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y})  ^{-4}=

(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y})  ^{3}· (\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}})  ^{4}=   \frac{(x^{2}-y^{2})^{3}}{(x+y)^{3}} ·  \frac{(x+y)^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{4}}

= \frac{x+y}{x^{2}-y^{2}} =  \frac{x+y}{(x-y)(x+y)} =    \frac{1}{(x-y)}

Esercizio n° 9

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{3}}{a^{2}-2a + 4})  ^{2} · (a ^{2}+2a) ^{-3} · (\frac{a^{3}+8}{a})  ^{2}=

(\frac{a^{3}}{(a-2)^{2}})  ^{2} · \frac{1}{ (a ^{2}+2a) ^{3}} ·  (\frac{(a+2)(a^{2}-2a+4)}{a})  ^{2}=

= \frac{a^{6}}{(a-2)^{4}}· \frac{1}{ a^{3}(a +2) ^{3}} ·  (\frac{(a+2)(a-2)^{2}}{a})  ^{2}=

= \frac{a^{6}}{(a-2)^{4}}· \frac{1}{ a^{3}(a +2) ^{3}} ·  \frac{(a+2)^{2}(a-2)^{4}}{a^{2}} =

=  \frac{a}{a+2}

Esercizio n° 10

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x + 4  · (\frac{x^{2}-4x + 4}{2x^{2}-8})  ^{-1} · (2x) ^{-2}=

=\frac{x(x^{2}-4)}{(x+2)^{2} · \frac{2x^{2}-8}{x^{2}-4x + 4}
  ·\frac{1}{(2x) ^{2}}=

\frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2} · \frac{2(x^{2}-4)}{(x-2)^{2}}
  · \frac{1}{4x ^{2}}=

=  \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2} ·  \frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}}
 · \frac{1}{4x ^{2}}=

\frac{1}{2x}

Prodotto di due frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni algebriche  è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

\frac{A}{B} · \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}

Bisogna ricordarsi che poi quando è il caso, si dovrà semplificare il prodotto ottenuto.

Quindi i passaggi per effettuare un prodotto sono:

  • Scomporre in fattori i numeratori e i denominatori e porre la C.E. ;
  • semplificare, questo può essere fatto anche alla fine
  • moltiplicare numeratore e denominatore.

Esempi

prodotto-di-frazioni-algebriche

prodotto di frazioni algebriche

La C.E. dei due esempi di sopra è per i primo x e z diversi da 0; per il secondo prodotto a-b, a+b, x-y +x+y diversi da 0.

A volte bisogna stare attenti perchè prima di fare il prodotto si può già semplificare in modo da rendere il calcolo più semplice.

Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

L’addizione e la sottrazione  di frazioni algebriche

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche, ridotte allo stesso denominatore, è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore, e per  numeratore la somma algebrica dei numeratori.

\frac{A}{B}+\frac{B}{D}-\frac{C}{D}= \frac{A+B-C}{D}

Esempio n° 1

somma-frazioni

addizione e sottrazione frazioni algebriche

Esempio n° 2

somma-frazioni-1

addizione e sottrazione di frazioni algebriche

Vedi gli esercizi

 

Semplificazione di frazioni algebriche

Semplificazione di frazioni algebriche

Prima di parlare della semplificazione non bisogna ricordare che le lettere rappresentano dei numeri, perciò per le frazioni algebriche valgono le stesse proprietà delle frazioni aritmetiche.

  • Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione algebrica per una stessa espressione diversa da zero si ottiene una frazione equivalente alla data.
  • Dividendo numeratore e denominatore di frazione algebrica per un divisore comune non nullo si ottiene una frazione equivalente alla data.
  • Per semplificare una frazione algebrica bisogna scomporre, quando sia possibile, numeratore e denominatore in fattori e poi dividerli entrambi per tutti i divisori comuni.

Per esempio

frazioni-algebriche

frazioni algebriche

frazione-algebrica-2

esempi frazioni algebriche

Per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore si segue un procedimento identico a quello che serve a compiere la stessa operazione su frazioni numeriche:

  • Si semplificano le frazioni;
  • Si trova il minimo multiplo comune, di grado il minore possibile, dei denominatori delle frazioni ridotte;
  • Si divide il multiplo trovato per ciascuno di questi denominatori;
  • Si moltiplica il quoziente ottenuto per il corrispondente numeratore: i prodotti così ottenuti sono i numeratori delle frazioni richieste, mentre il comune multiplo è il denominatore comune.

Esempio

Ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni:

stesso-denominatore

riduzione allo stesso denominatore

Vedi gli esercizi

Frazioni algebriche

Dati due polinomi A e B, di cui il secondo non deve essere nullo, la frazione \frac{A}{B} si chiama frazione algebrica.

A e B sono i termini della frazione: A è il numeratore e B il denominatore. Sono ad esempio frazioni algebriche le espressioni:

\frac{2a ^{2}b ^{3}}{3xy};    \frac{1 + 2x + x ^{2}}{4-x ^{2}}
;      \frac{2x}{x+y}

Ogni monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui denominatore è il polinomio 1.

Una frazione algebrica con numeratore nullo è uguale a 0. Pertanto il polinomio nullo fa parte dell’insieme delle frazioni algebriche.

Una frazione algebrica ha significato per tutti i valori delle lettere che vi compaiono eccetto per quei valori che rendono nullo il denominatore.

Ad esempio la frazione \frac{4x +1}{x ^{2}-1}
 non ha significato per x= ±1, perchè per tali valori il denominatore assume il valore zero, quindi si annulla.

Quindi per ogni frazione algebrica si dovrà fare la condizione di esistenza cioè si pone il denominatore diverso da zero e i valori ottenuti sono quelli che annullano il denominatore e quindi non si devono considerare.

Esempio

  • La frazione \frac{x-1}{x}
 la C.E. è x≠0
  • \frac{5x - 1}{2x + 3} C.E.: 2x + 3≠0      x≠-\frac{3}{2}
  • \frac{2x - 5}{  x^{2}-4   }
 C.E.: x² -4≠0 ossia (x+2)(x -2)≠0 quindi x+2≠0 e x-2≠0 il risultato è rispettivamente x≠-2 e x≠2
  • \frac{4a}{  a^{2}+1   }
 C.E.:a²+1≠0 quindi a²≠-1 ma questo è vero per ogni numero reale a , infatti a²≥0 quindi non viene escluso alcun valore.