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Programma matematica primo superiore

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Equazioni e disequazioni e valore assoluto

 

Equazioni e problemi

Ci sono alcuni problemi che è possibile risolvere con le equazioni. Bisogna tradurre il testo del problema in una uguaglianza in cui ci sia l’incognita.

La scelta dell’incognita dipende dal problema.

Consideriamo per esempio il seguente problema:

Trovare il numero tale che il suo triplo sia uguale alla sua metà aumentata di 20.

Scegliamo come x il numero richiesto, quindi a questo punto si deve solo tradurre il problema in equazione.

Avremo che 3 · x  = \frac{x}{2} + 20, a questo punto si deve solo risolvere l’equazione.

Facciamo il m.c.m. e otteniamo 6x = x + 40⇒ 5x = 40 ⇒  x = 8

Il numero 8 soddisfa la condizione posta, infatti, il suo triplo è 24 e la somma della sua metà, 4, con 20 è ancora 24.

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Equazioni e disequazioni e valore assoluto

Il valore assoluto, chiamato anche modulo, di un numero è il numero considerato senza segno, per esempio |+5| = 5, |-8| = 8.

Ovviamente, se invece del valore assoluto di un numero consideriamo quello di un’espressione con variabili il discorso cambia perchè i valori di x possono essere positivi, negativi o nulli.

Se x ≥ 0    vorrà dire che |x|= x

Se x = +5     allora |x| = |+5| = 5

Se x= 0       |x|=|0| = 0

Se x < 0, dobbiamo scrivere |x|= -x

Se x = -9   allora |x| =|-7| = – (-7) = 7

In definitiva il valore assoluto di una variabile è uguale alla variabile stessa, se essa è positiva o nulla; è uguale all’opposto della variabile se essa è negativa.

Calcoliamo per esempio |x-3|.

Consideriamo i vari casi:

Se x-3≥0 quindi x ≥3 allora |x-3| = x – 3

Se x – 1 < 0 quindi x <1 allora il valore assoluto è l’opposto dell’espressione e cioè |x-3|= -(x-3)= -x + 3.

Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, si deve eliminare il valore assoluto, considerando il segno dell’espressione in esso contenuta.

Per esempio:

|4x – 8 | – 3 = 2x – 9

Studiamo prima di tutto il segno all’interno del valore assoluto:

4x – 8 ≥ 0 ⇔ x ≥2  ma se x <2 avremo |4x – 8 |=-(4x – 8) = -4x + 8

Per calcolare i risultati di questa equazione si svolgono due sistemi e cioè con  x<2 e x ≥2

valore-assoluto

\frac{7}{3} non è accettabile perchè non è minore di 2.

1 non è accettabile perchè non è maggiore di 1.

L’equazione data è impossibile.

Per risolvere una disequazione dove compare il valore assoluto dell’incognita vediamo come si procede.

Per esempio:

|x – 2|< 3x + 6

Anche in questo caso si studia prima il segno all’interno del modulo:

x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Se x≥ 2     |x – 2| = x – 2

Se x <2    |x – 2| = – (x-2)= -x + 2

Anche in questo caso la soluzione della disequazione si otterrà dai due sistemi.

valore-assoluto-2

grafico

 

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Sistemi di disequazioni

Il sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, nelle stesse incognite, che sono soddisfatte contemporaneamente da determinati valori delle incognite.

Per esempio consideriamo le due disequazioni:

x – 1 > 0   e   4 – x > 0

Esistono valori che contemporaneamente soddisfano contemporaneamente le due disequazioni, infatti, se andiamo a sostituire alla x il valore 3 otteniamo:

3-1 > 0   e   4-3> 0  quindi   sono entrambe diseguaglianze vere.

Se invece andiamo a sostituire il valore 6 otteniamo:

6 – 1 > 0   e   4 – 6 > 0  quindi la prima è vera e la seconda non lo è.

Per conoscere quali siano le soluzioni che soddisfino entrambe le disequazioni senza dover fare mille tentativi si procede nel seguente modo:

  • prima di tutto si eseguono entrambe le disequazioni che avranno rispettivamente come soluzioni , la prima x > 1, e la seconda x < 4;
  • i valori ottenuti vengono riportati su di un grafico e le soluzioni comuni sono quelle racchiuse tra solo linee continue.

sistema-di-disequazioni

Consideriamo degli altri esempi:

sistema-di-disequazioni-1

Lo stesso discorso si fa se il numero delle disequazioni messe a sistema aumenta, bisogna sempre ricordarsi che bisogna prendere solo l’intervallo o gli intervalli che presentino tutte linee continue, quindi, bisogna non confondersi con la regola dei segni il cui grafico prevede che vengano presi i risultati positivo o negativi a seconda della disequazione di partenza.

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Disequazioni fratte

Le disequazioni sono fratte (o frazionarie) quando contengono l’incognita in almeno un denominatore.

Le disequazioni numeriche fratte

Consideriamo l’esempio:

\frac{4x - 6}{(1 - x)}+ 1  > 0  si riduce allo stesso denominatore

\frac{4x -6 + 1 - x}{(1 - x)}  > 0

\frac{3x - 5}{(1 - x)}  > 0  in questo caso non possiamo eliminare il denominatore come accade per le equazioni, perchè il segno della frazione dipende anche dal segno del denominatore. Per risolvere la disequazione dobbiamo determinare per quali valori di x  la frazione è positiva, negativa o nulla.

A questo punto si svolge il così detto studio del segno della funzione. Bisogna quindi studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

Vediamo come si risolve la disequazione fratta \frac{3x - 5}{(1 - x)}  > 0. La prima cosa da fare è considerare separatamente il numeratore e il denominatore e vedere per quali valori,quindi quali intervalli sono concordi il numeratore e il denominatore.

N (numeratore)> 0  3x – 5> 0 ⇔ x > \frac{5}{3}

D(denominatore ) > 0     1 – x > 0 ⇔ x < 1

I risultati ottenuti devono essere riportati su uno schema grafico, che ci permette di studiare il segno.

disequazione-1

Le disequazioni letterali fratte

Risolviamo per esempio la disequazione \frac{1 - ax}{x} > 0

Per lo studio del segno si pone come per le disequazioni fratte numeriche il numeratore e il denominatore maggiori di zero.

N > 0    1 – ax > 0  ⇒ ax < 1

A questo punto dobbiamo considerare i valori che può assumere a. Quindi:

Se a > 0      N > 0   quando x< \frac{1 }{a}

Se a=0        N > 0   per qualsiasi valore di x

Se a <0      N > 0   quando   x >  \frac{1 }{a}

D > 0      x> 0

Si devono fare tre schemi a seconda del valore di a.

disequazioni-2

 

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Le disequazioni intere

Le disequazioni intere possono essere numeriche o letterali.

Le disequazioni numeriche intere vengono risolte in modo simile a come viene fatto per le equazioni.

Per esempio consideriamo la disequazione:

\frac{2}{3} + 3(x – 1) < \frac{1}{2} (1 + x) + 1      eliminiamo il denominatore effettuando il minimo comune multiplo che è 6

4 + 18(x – 1) < 3 (1 + x) + 6

4 + 18x – 18 < 3 + 3x + 6     trasportiamo i termini con l’incognita x nel primo membro ed i termini noti nel secondo, quindi applichiamo il 1° principio di equivalenza

18x – 3x < 3 + 6 – 4 + 18

15x < 23   dividiamo i membri per 15 e si ottiene:

x < \frac{23}{15}

La disequazione data  è verificata per tutti i valori minori di \frac{23}{15}.

Un altro esempio di disequazione sempre verificata è:

\frac{3}{2}x – 4 < \frac{(x-2)}{2} + \frac{(5x+3)}{5}  il m.c.m. è 10

15x – 40 < 5x – 10 + 10x + 6

15x – 5x – 10x < – 10 + 6 + 40

0 · x < 36   qualunque valore sostituiamo a x , il prodotto 0 · x vale sempre 0. Poichè la disequazione 0<36 è vera, la disequazione risulta sempre verificata e si scriverà ∀x∈R.

Un esempio di disequazione mai verificata è:

3x – 2 – x > 4 + 2x + 1

2x – 2 > 5 + 2x

2x – 2x > 5 + 2

0 · x > 7

Qualunque valore sostituiamo ad x , otteniamo sempre 0 > 7 , che è una disuguaglianza falsa, quindi risulta mai verificata e si scrive x ∈ R

Per quanto riguarda le disequazioni letterali, come per le equazioni anch’esse letterali intere, è spesso necessaria la discussione.

Per esempio:

a(x – 3) < 2x  + 1

ax – 3a < 2x + 1

ax – 2x <  3k + 1

x(a – 2)  < 3a + 1

Il segno di x dipende dal valore di a, per questo è necessaria la discussione, distinguendo i tre casi:

a – 2 > 0;   a – 2 = 0; a – 2 < 0

Se a – 2 > 0 ⇒ a > 2 quindi possiamo dividere entrambi i membri per a – 2, ottenendo una disequazione dello stesso verso:

x < \frac{(3a + 1)}{(a - 2)}

Se a – 2 = 0 ⇒ a = 2 quindi otteniamo:

x(a – 2)  < 3a + 1 ⇒ x (2 – 2) < 3 · 2 + 1

0 · x < 7 quindi 0 < 7 e la disequazione è sempre verificata ∀x∈R.

Se a – 2 < 0, ossia a < 2, dividendo i due membri per una quantità negativa, dobbiamo invertire il senso della disequazione quindi:

x > \frac{(3a + 1)}{(a - 2)}

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Disequazioni equivalenti

Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Per esempio x < 4   e   x +4 < 8; sono tutte e due soddisfatte per tutti i valori di x minori di 4.

Per risolvere le disequazioni si usano le stesse regole delle diseguaglianze numeriche.

Primo principio di equivalenza

Data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso polinomio.

Per esempio la disequazione 2x – 3 > x + 5 è equivalente alla disequazione  x – 3 > 5 ottenuta aggiungendo – x ad entrambe i membri.

In questo esempio è come se il termine x fosse stato trasportato da un membro all’altro cambiandolo di segno.

Secondo principio di equivalenza

Per trasformare una disequazione in una equivalente si possono moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero positivo. In alternativa si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per un numero negativo e cambiare il verso alla disequazione.

In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e si inverte il suo verso, si ottiene una disequazione equivalente.

Questa operazione corrisponde alla moltiplicazione per – 1 dei membri della disequazione. Per esempio:

-x < 2  è equivalente  a  x > – 2

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Disequazioni di primo grado

Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali valori delle lettere rendono la disuguaglianza vera.

Per esempio consideriamo la disequazione x – 4 < 6, procedendo per tentativi, sostituiamo ad x alcuni valori  e stabiliamo se la disuguaglianza ottenuta è vera o falsa.

per x = 1      1 – 4 < 6   è vera              per x = 2     2 – 4 < 6   è vera

per x = 4     3 – 4 < 6 è vera                per x = 9      9 – 4 <5   è vera

per x = 10   10 – 4 < 6 è falsa   e continuerà ad essere falsa per tutti i numeri maggiori di 10.

Quindi in  definitiva possiamo dire che la disuguaglianza è vera per tutti i valori di x minori di 10.

Quando si parla di soluzioni senza specificare nulla vuol dire che si cercheranno le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.Per esempio se si considera la disequazione x > 4 essa si potrà anche scrivere come : {x∈R | x > 4 }

Nelle disequazioni oltre ai simboli di >(maggiore) e < (minore) si possono usare anche il simbolo di ≥ (maggiore o uguale) o ≤ (minore o uguale).

Rappresentare le soluzioni

Le soluzioni di una disequazione vengono rappresentate su di una retta orientata, dove alle due estremità c’e  meno infinito e + infinito.

disequazioni

Le soluzioni di una disequazione spesso fanno parte dell’insieme R e sono chiamati intervallo delle soluzioni. L’intervallo è indicato dalla coppia degli estremi dal più piccolo al più grande separati dal punto e virgola e posti tra parentesi. L’orientamento della parentesi ci indica se gli estremi sono inclusi o esclusi.

Consideriamo degli esempi:

intervalli

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Le disuguaglianze numeriche

<Si chiama disuguaglianza ogni scrittura della forma A>B o A<B la quale esprime che un numero è maggiore o minore di un altro, oppure che, di due date espressioni, una deve assumere valori maggiori o minori dell’altra per determinati valori delle lettere che vi compaiono.

Per le disuguaglianze valgono i seguenti principi:

Proprietà della monotonia dell’addizione

Aggiungendo uno stesso numero, positivo o negativo, da ambedue i membri di una disuguaglianza numerica si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso.

Per esempio

a>b       quindi       a+c>b+c    o anche    a – c > b – c

Da qui risulta in particolare che si può trasportare un termine da un membro all’altro cambiando di segno.

Infatti se abbiamo a + b > c   aggiungendo ad entrambe i membri il termine -b si ha

a + b – b  > c – b  cioè     a  > c – b

Il termine b infatti, è passato da una parte all’altra cambiando di segno.

Consideriamo un esempio numerico:

-9 < 15  aggiungendo ad entrambe i membri + 5 otteniamo:

-9 + 5 < 15 + 5 ⇒ -4 < 20    la disuguaglianza è sempre valida

Addizione di disuguaglianze dello stesso senso

Due disuguaglianze dello stesso senso si possono sommare membro a membro, ottenendo così una disuguaglianza dello stesso senso.

Consideriamo due disuguaglianze  a>b  e  c>d

Applicando questa regola abbiamo che a + c > c + d

Quello che vale per l’addizione non vale per la sottrazione. Facciamo un esempio numerico, consideriamo per esempio 3 < 5 e  2 < 8 , sommando membro a membro otteniamo 3+2 < 5 + 8 ⇒ 5 <13 che è una disuguaglianza sempre vera. Invece, se sottraiamo membro a membro otteniamo 3 – 2 < 5 – 8 quindi 1 < -3, ovviamente ciò non può essere vero.

Moltiplicazione (divisione) per un numero positivo

Moltiplicando (o dividendo) entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso.

Consideriamo un numero m >0

a > b  moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb  ⇒\frac{a}{m} > \frac{b}{m}

Consideriamo un esempio numerico

5 < 7 e moltiplichiamo per + 3, otteniamo 15 < 21 quindi la proprietà è verificata.

Moltiplicazione (divisione) per un numero negativo

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero negativo, si ottiene una disuguaglianza di senso contrario.

Consideriamo un numero m<0

a > b  moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb  ⇒ \frac{a}{m} < \frac{b}{m}

Per esempio 7 > 5 moltiplichiamo entrambe i membri per – 1  e otteniamo se non cambiamo verso -7>-5, ovviamente ciò non è vero quindi si deve cambiare il verso del segno e avremo – 7 < -5.

Proprietà dei reciproci di numeri concordi

Dati due numeri concordi e diversi da zero, la diseguaglianza fra i loro reciproci ha senso contrario rispetto a quella fra i numeri stessi.

Consideriamo 2 < 3 e vediamo che la disuguaglianza dei loro reciproci prevede il cambio di verso per essere considerata vera, \frac{1}{2} > \frac{1}{3}.

Prodotto di disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi

Se moltiplichiamo membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi, otteniamo una disuguaglianza dello stesso senso.

2 < 5      e   6 < 9

moltiplichiamo membro a membro e otteniamo 2 · 6 < 5 · 9 ⇒ 12 < 54 la disuguaglianza è vera.

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Equazioni fratte

Un’equazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Un’equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numeri, invece è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.

\frac{3}{x-2} = 6  e    \frac{3}{x} + 2 = \frac{12}{x-3}  sono equazioni numeriche fratte

\frac{a}{x}+ 1= \frac{1}{a}+ 2x  e    \frac{3}{x-2} +7a= 2a – 5 sono equazioni letterali fratte

La risoluzione di questo tipo di equazioni avviene come le altre equazioni ma ponendo la condizione di esistenza.

Per esempio risolviamo un’equazione numerica fratta:

\frac{x}{x-1}= \frac{1}{x-1

C.E.    x-1≠0, cioè x≠1

Per risolverla moltiplichiamo entrambe i membri per x – 1 e otteniamo x = 1

A questo punto bisogna controllare se la soluzione è compatibile con la condizione d’esistenza. Visto che la soluzione x = 1 è incompatibile con x≠1 , allora l’equazione è impossibile.

Risolviamo un’equazione letterale fratta:

\frac{a+x}{x+2} + \frac{x - 2a}{x-3}  = \frac{2a}{3x + 6} – \frac{2x}{3-x} + \frac{15}{(x-3)(x+2)}

Poniamo la C.E.

x+2 ≠0 ⇒ x ≠-2

x-3 ≠0 ⇒ x ≠ 3

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{3(a+x)(x-3)+ 3(x-2a)(x+2)}{3(x-3)(x+2)}= \frac{2a(x-3)+ 6x(x+2)+ 45}{3(x-3)(x+2)}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

3(a+x)(x-3) +3(x-2a)(x+2) = 2a(x-3)+6x(x+2) + 45

3ax + 3x² -9a -9x +3x² -6ax +6x – 12a =2ax -6a +6x² +12x + 45

-5ax – 15x = 45 + 15a

-5x(a + 3) = 15(a + 3)            per a+3 ≠0  ⇒ a ≠-3

x =\frac{15(a+3)}{-5(a+3)} =- \frac{15}{5} = -3

Vediamo se la soluzione è valida, quindi se la soluzione è diversa da -2 e 3 ottenuti nella C.E. A questo punto vediamo che la soluzione è uguale ad a≠ – 3, ciò vuol dire che l’equazione -5x(a + 3) = 15(a + 3)    si riduce a 0·x = 0 e quindi l’equazione è indeterminata.

Consideriamo un altro esempio:

1 + \frac{a +x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

C.E.   x – 2 ≠0 ⇒ x ≠ 2

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

(x – 2)\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}(x-2)

x- 2 + a + x = 9a + 4

2x = 9a + 4 + 2 – a ⇒ 2x = 8a + 6

x = 4a + 3

Questa soluzione è accettabile solo se risulta verificata la condizione di esistenza della frazione.

Quindi x ≠ 2 diventa:

4a + 3 ≠ 2      4a  ≠-3 + 2

4a  ≠ -1         a  ≠ -\frac{1}{4}

A questo punto se a =-\frac{1}{4} , si ha x = 4 (-\frac{1}{4}) + 3 = 2. In questo caso la condizione per l’esistenza delle frazioni non è verificata e l’equazione è impossibile.

Se a ≠ -\frac{1}{4}, l’equazione è determinata e la soluzione è x = 4a + 3

Se a = -\frac{1}{4}, l’equazione è impossibile

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