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Esercizi sulla catena di rapporti uguali

 

1) Data la catena di rapporti 10 : 3 = 20 : 6 = 30 : 9, scrivi tutte le proporzioni applicando la proprietà del comporre.

Applicando la proprietà del comporre si ottiene:

(10 + 20 + 30) : ( 3 + 6 + 9) = 10 : 3

(10 + 20 + 30) : ( 3 + 6 + 9) = 20 : 6

(10 + 20 + 30) : ( 3 + 6 + 9) = 30 : 9

quindi si possono ottenere tre proporzioni

60 : 18 = 10 : 3

60 : 18 = 20 : 6

60 : 18 = 30 : 9

2) Calcola il valore di ciascuna delle incognite nel seguente rapporto.

x : 6 = y : 5 = z : 7                    x + y + z = 162

(x + y + z) : ( 6 + 5 + 7) = x : 6               Applichiamo la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti alla proporzione

ottenendo una seconda proporzione.

162 : 18 = x : 6                                           Sostituendo 162 alla somma x+y+z, otteniamo una proporzione la cui

incognita è x

x =\frac{162 \cdot6}{18} = 54

In modo analogo troviamo anche la y e la z.

(x + y + z) : ( 6 + 5 + 7) = y : 5

162 : 18 = y : 5

y = \frac{162 \cdot5}{18} = 45

(x + y + z) : ( 6 + 5 + 7) = z : 7

162 : 18 = z : 7

z = \frac{162 \cdot7}{18} = 63

3) Calcola la lunghezza dei lati di un triangolo sapendo che il perimetro è 66 cm e che le misure dei lati stanno fra loro come i numeri 2, 4 e 5.

Dati                                                                                                                         Incognite

x + y + z = 66 cm                                                                                                    x = misure del 1° lato

x : 2 = y : 4 = x : 5                                                                                                   y = misura del 2° lato

                                                                                        z = misura del 3 ° lato

Svolgimento

(x + y + z ) : ( 2 + 4 + 5) = x : 2                           66 : 11 = x : 2                    x =\frac{66 \cdot2}{11} = 12 cm         misura del 1° lato

(x + y + z ) : ( 2 + 4 + 5) = y : 4                           66 : 11 = y : 4                    y = \frac{66 \cdot4}{11} = 24 cm       misura del 2° lato

(x + y + z ) : ( 2 + 4 + 5) = z : 5                           66 : 11 = z : 5                     z = \frac{66 \cdot5}{11} = 30 cm       misura del 3° lato

Verifica

2p = (12 + 24 + 30) cm = 66 cm

Problemi con le proporzioni

PROBLEMA N° 1

In un banchetto di nozze, il rapporto tra il numero degli invitati della sposa e il numero degli invitati dello sposo è \frac{5 }{6}. Se gli invitati della sposa sono 40, quanti sono quelli dello sposo?

Dati                                                                                                         Incogniata

n° invitati della sposa/n° degli invitati dello sposo = \frac{5 }{6}           x = n° invitati dello sposo

n° invitati della sposa = 40

Svolgimento

Sostituendo 40 al numero degli invitati della sposa e x al numero degli invitati dello sposo, il rapporto diventa:

\frac{40}{x} = \frac{5}{6}           e scrivendo sotto forma di proporzione:

40 : x = 5 : 6       risolvendo:

x = \frac{40 \cdot6  }{5} = 48   n° degli invitati dello sposo

PROBLEMA N° 2

Il rapporto tra due numeri è \frac{5   }{7}. Se il numero maggiore è 56 quanto vale il numero minore?

 Svolgimento

x starà al numeratore perchè rappresenta il numero più piccolo come 5

\frac{5   }{7} = \frac{x  }{56}  possiamo scriverlo come una proporzione

5 : 7 = x : 56

x =  \frac{56 \cdot5  }{7} = 40

PROBLEMA N° 3

In una gita scolastica il rapporto tra il numero dei maschi e il numero delle femmine è \frac{4  }{5}. Sapendo che i maschi sono 28, quanti sono complessivamente i partecipanti alla gita?

Dati                                                                                                       Incognita

\frac{4  }{5} = numero dei maschi/ numero di femmine                                     x= n° di femmine

Svolgimento

\frac{4  }{5} = \frac{28  }{x} scrivendolo come una proporzione

4 : 5 = 28 : x

x = \frac{28 \cdot5  }{4} = 35

I partecipanti alla gita saranno 28 + 35 = 63

PROBLEMA N° 4

Determina due numeri il cui rapporto è \frac{4  }{7} e la cui somma è 55.

Svolgimento

Indicando con x e y i due numeri, si può scrivere:

x + y = 55              e             \frac{x  }{y} = \frac{4  }{7}

che si può scrivere sotto forma di proporzione x : y = 4 : 7

Applicando alla proporzione la proprietà del comporre è possibile ricavare sia x che y:

(x + y) : x = (4 + 7) : 4

55 : x = 11 : 4

x = \frac{55 \cdot4 }{11} = 20    1° numero

(x + y) : y = ( 4 + 7) : 7

55 : y = 11 : 7

y = \frac{55 \cdot7 }{11} = 35   2° numero

PROBLEMA N° 5

Determina due numeri il cui rapporto è \frac{7 }{5} e la cui differenza è 6.

Svolgimento

Indicando con x e y i due numeri e operando come prima si ottiene:

x – 6 = 6        e          x : 4 = 7 : 5

Applicando la proprietà dello scomporre è possibile ricavare sia x che y:

(x – y) : x = (7 – 5) : 7

6 : x = 2 : 7

x = \frac{6\cdot7 }{2} = 21     1° numero

(x – y ) : y = (7 – 5) : 5

6 : y = 2 : 5

y = \frac{6\cdot5 }{2} = 15    2° numero

PROBLEMA N° 6

Gli allievi di una classe mista sono 25 e le allieve sono \frac{2 }{3} dei maschi. Quante femmine e quanti maschi frequentando quella classe?

Dati                                                                                                      Incognite

x + y = 25            x = \frac{2 }{3}                                                                    x= numero delle femmine

y = numero dei maschi

Svolgimento

x : y = 2 : 3       e             x + y = 25

(x + y) : x = (2 + 3) : 2

25 : x = 5 : 2

x = \frac{25 \cdot2 }{5} = 10     n° femmine

(x + y ) : y = ( 2 + 3) : 3

25 : y = 5 : 3

y = \frac{25 \cdot3 }{5} = 15     n° maschi

PROBLEMA N° 7

Giovanni possiede 27 figurine più di Carlo. Sapendo che Giovanni ha \frac{13  }{4} delle figurine di Carlo, calcola quante ne possiede ognuno di loro.

Dati                                                                                                            Incognite

x – y = 27                     x  = \frac{13  }{4} y                                                        x = n° figurine di Giovanni

y = n° figurine di Carlo

Svolgimento

x : y = 13 : 4             e            x – y = 27

(x – y) :  x = ( 13 – 4) : 13

27 : x = 9 : 13

x = \frac{27 \cdot13}{9} = 39     n° figurine di Giovanni

(x – y) : y = (13 – 4 ) : 4

27 : y = 9 : 4

y = \frac{27 \cdot4}{9} = 12 n° figurine di Carlo

 

 

 

Esercizi sulla ricerca del termine incognito

1) Risolvi le proporzioni.

a) 21 : x = 7 : 3

Il termine incognito è un medio, quindi è uguale  al prodotto degli estremi diviso l’altro medio.

Si ottiene:

x = \frac{21 \cdot 3}{7} = 9

la proporzione  diventa quindi:

21 : 9 = 7 : 3

b) x :\frac{1}{3} = \frac{9}{4} : \frac{2}{5}

Il termine incognito è un estremo, quindi è ugule al prodotto dei medi diviso l’altro estremo. Si ha :

x = \frac{1}{3} • \frac{9}{4} / \frac{2}{5} =   \frac{1}{3} • \frac{9}{4} • \frac{5}{2}=  semplificndo = \frac{15}{8}

la   proporzione  divent  quindi:

\frac{15}{8} : \frac{1}{3} = \frac{9}{4} : \frac{2}{5}

c)  \frac{3}{8} : (\frac{5}{2} + \frac{1}{3})  = (\frac{47}{51} + \frac{1}{6} - 1)  : x

I  due medi sono delle espressioni, pertanto prima si risolvono tali espressioni:

\frac{3}{8} : (\frac{15 + 2}{6})  = (\frac{94 + 17 + 102}{102})  : x

\frac{3}{8} : \frac{17}{6} = \frac{9}{102} : x  ⇒  \frac{3}{8} : \frac{17}{6} = \frac{3}{34} : x

x =  \frac{17}{6} • \frac{3}{34}  / \frac{3}{8}  =  \frac{17}{6} • \frac{3}{34} • \frac{8}{3}   semplificndo   = \frac{2}{3}

2)Determin il quarto proporzionle per ciscuna terna di numeri.

a) 25; 15; 40

Indicando il quarto proporzionle con x , si ha la proporzione:

25 : 15 0 40 : x       e risolvendo:

x = \frac{15 \cdot 40 }{25} = 24  quindi il quarto proporzionle dopo i tre numeri è: 24

b) \frac{3 }{7}\frac{6 }{35}; 5

Indicando il quarto proporzionle con x, si ha la proporzione:

\frac{3 }{7} : \frac{6 }{35} = 5 : x

x = \frac{6 }{35} • 5 / \frac{3 }{7} = \frac{6 }{35} • 5 • \frac{7 }{3} = semplificndo = 2

3) Risolvi le proporzioni  continue.

a) 8 : x = x : 18

x = \sqrt{8  \cdot 18 } = \sqrt{144} = 12

b) \frac{3}{8} : x = x : \frac{2}{27}

\sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{27}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}

c) (\frac{13}{28} + 4) : x = x: (\frac{2}{5} + 1)

(\frac{13 + 112}{28} ) : x = x : (\frac{2 + 5}{5} )

\frac{125}{28} : x = x : \frac{7}{5}

x = \sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{27}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}

d) ( \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}) : x = x : ( \frac{5}{2} + \frac{25}{4} - \frac{1}{10})

( \frac{1}{6} +  \frac{2}{3}) : x = x : ( \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{25} - \frac{1}{10})

( \frac{1}{6} +  \frac{2}{3}) : x = x : ( \frac{2}{5}  - \frac{1}{10})

(\frac{1 + 4}{6}) : x = x : (\frac{4 - 1}{10})

(\frac{5}{6}) : x = x : (\frac{3}{10})

x = \sqrt{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4} } = {\frac{1}{2} }

4) Calcola:

a) Il medio proporzionle tra i numeri 63 e 7.

Indicando con x il medio proporzionle si ottiene la proporzione:

63 : x = x : 7

e risolvendo:

x = \sqrt{63 \cdot 7} = \sqrt{441} = 21

21 è il medio proporzionle quindi : 63 : 21 = 21 : 7

b) Il terzo proporzionle dopo i numeri 9 e 12.

Indicando con x il terzo proporzionle, si ottiene la proporzione:

9 : 12 = 12 : x

e risolvendo

x = \frac{12 \cdot 12 }{9} = 16

16 è il terzo proporzionle cercato.

 

 

Esercizi sulle proprietà del comporre e dello scomporre

1) Data la proporzione 7 : 3 = 21 : 9 applica le proprietà del comporre e dello scomporre.

a) Proprietà del comporre :

(7 + 3) : 3 = ( 21 + 9) : 9

10 : 3 = 30 : 9

(7 + 3) : 7 = (21 + 9) : 21

10 : 7 = 30 : 21

b) Proprietà dello scomporre:

(7 – 3) : 3 = ( 21 – 9) : 9

4 : 3 = 12 : 9

(7 – 3) : 7  = (21 – 9) : 21

4 : 7 = 12 : 21

2) Applica, a ciascuna proporzione, la proprietà del comporre per ricavarne altre due.

a) 22 : 13 = 88 : 52

(22 – 13) : 13 = (88 – 52) : 52

9 : 13 = 36 : 52

(22 – 13) : 22 = (88 – 52) : 88

b) \frac{1}{4}  : \frac{1}{14}  = \frac{7}{4}  : \frac{1}{2}

(\frac{1}{4}  + \frac{1}{14} ) : \frac{1}{14}  = ( \frac{7}{4}  + \frac{1}{2} ): \frac{1}{2}

(\frac{7 + 2}{28} ) : \frac{1}{14}  =( \frac{7 + 2}{4} ) : \frac{1}{2}

\frac{9}{28}  : \frac{1}{14}  = \frac{9}{4}  : \frac{1}{2}

2) Applica, a ciascuna proporzione, la proprietà dello scomporre per ricavarne altre due.

a) 16 : 7 = 64 : 28

( 16 – 7) : 7 = ( 64 – 28) : 28

9 : 7 = 36 : 28

( 16 – 7) : 16 = ( 64 – 28) : 64

b) 31 : 15 = 62 : 30

(31 – 15) : 15 = (62 – 30) : 30

16 : 15 = 32 : 30

(31 -15) : 31 = (62 – 30) : 62

16 : 31 = 32 : 62

3) Risolvi le proporzioni, applicando la proprietà del comporre.

a) (15 – x) : x = 7 : 3

L’incognita x è presente nel 1° e nel 2° termine. Applicando la proprietà del comporre si ottiene:

(15 – x + x ) : x = ( 7 + 3) : 3   da cui:

15 : x = 10 : 3

x = \frac{15 \cdot 3}{10} = \frac{9}{2}

b) ( 12 – x) : 4 = x : 2

Per avere l’incognita x nei primi due termini è sufficiente permutare i due modi:

( 12 – x ) : x = 4 : 2          si applica la proprietà del comporre

( 12 – x + x) : x = ( 4 + 2) : 2

12 : x = 6 : 2

x = \frac{12 \cdot 2}{10} = 4

c) 8 : x = 32 : ( 18 – x)

Si permutano gli estremi:

( 18 – x ) : x = 32 : 8

( 18 – x +x) : x = (32 + 8) : 8

18 : x = 40 : 8

x = \frac{18 \cdot 8}{40} = \frac{18}{5}

4) Risolvi le proporzioni, applicando la proprietà dello scomporre

a) ( 21 + x) : x = 15 : 8

Per eliminare la x dal primo termine, si applica la proprietà dello scomporre:

(21 + x – x) : x = ( 15 – 8) : 8

21 : x = 7 : 8

x = \frac{21 \cdot 8}{7} = 24

b) x : ( 8 + x) = 3 : 7

Si applica la proprietà dell’invertire:

(8 + x) : x = 7 : 3

(8 + x – x) : x = ( 7 – 3) : 3

8 : x = 4 : 3

x = \frac{8 \cdot 3}{4} = 6

 

Esercizi sulle proprietà dell’invertire e del permutare

1) Data la proporzione 12 : 5 = 24 : 10, applica le proprietà dell’invertire  e del permutare.

Proprietà dell’invertire: si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente; si ottiene:

5 : 12 = 24 : 10               12 x 10 = 120            5 x 24 = 120  è ancora una proporzione

Proprietà del permutare: è possibile applicarla in tre modi.

 a) Si scambiano i due medi:

2 1: 24 = 5 : 10          24 x 5 = 120      12 x 10 = 120      è ancora una proporzione

b) Si scambiano gli estremi :

10 : 5 = 24 : 12  è ancora una proporzione

c) Si scambiano sia i medi sia gli estremi:

10 : 24 = 5 : 12

2) Data la proporzione 3 : 12 = 5 : 20, scrivi tutte le proporzioni che puoi ottenere applicando le proprietà dell’invertire e del permutare.

  • Si permutano i medi :   3 : 5 = 12 : 20
  • Si permutano gli estremi : 20 : 12 = 5 : 30
  • Si permutano sia i medi sia gli estremi:  20 : 5 = 12 : 30
  • Si applica la proprietà dell’invertire: 12 : 3 = 20 : 5

A quest’ultima 12 : 3 = 20 : 5

  • Si permutano i medi :  12 : 20 = 5 : 20
  • Si permutano gli estremi : 5 : 3 = 20 : 12
  • Si permutano sia i medi sia gli estremi : 5 : 20 = 3 : 12

Si possono ottenere 7 nuove proporzioni.

 

 

Esercizi sulla proprietà fondamentale della proporzione

1) Riconosci se i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione. 

a) 3; 4; 18; 24

Il rapporto tra i primi due numeri è \frac{3}{4}            Il rapporto tra gli altri due numeri è  \frac{18}{24}= \frac{3}{4}

I due rapporti sono uguali, quindi i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione e si può scrivere:

3: 4 = 18 : 24  che si legge 3 sta a 4 come 18 sta a 24

b) 4; 6; 2; 3

Il rapporto tra i primi due numeri è \frac{4}{6}= \frac{2}{3}    Il rapporto tra gli altri due numeri è \frac{2}{3}

I due rapporti sono uguali, quindi i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione.

c) 12; 10; 24; 22

Il rapporto tra i primi due numeri è \frac{12}{10}= \frac{6}{5}   Il rapporto tra gli altri due numeri è \frac{24}{22}= \frac{12}{11}

I due rapporti sono diversi , quindi i quattro numeri, nell’ordine dato, non formano una proporzione.

d) \frac{5}{3};   \frac{2}{9};   \frac{35}{4};   \frac{7}{6}

Il rapporto tra i primi due numeri è : \frac{5}{3} : \frac{2}{9} = \frac{5}{3} x \frac{9}{2} = semplificando = \frac{15}{2}

Il rapporto tra gli altri due numeri è : \frac{35}{4} : \frac{7}{6} = \frac{35}{4} x \frac{6}{7} = semplificando = \frac{15}{2}

I due rapporti sono uguali, quindi i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione e si può scrivere:

\frac{5}{3} : \frac{2}{9} =  \frac{35}{4} : \frac{7}{6}

2) Scrivi tre proporzioni aventi come primo rapporto 8 : 4.

Il rapporto fra i due numeri è 2, ovvero il primo è il doppio del secondo:

8 : 4 = 2 : 1

8 : 4 = 80 : 40

8 : 4 = 6 : 3

3) Riconosci in quali casi, applicando la proprietà fondamentale, i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione.

a) 18; 6; 9; 3

Il prodotto del 2° e del 3° numero è : 6 x 9 = 54

Il prodotto del 1° e del 4° numero è : 18 x 3 = 54

Eseguendo i due prodotti uguali, i quattro numeri, nell’ordine dato, formano una proporzione e si può scrivere:

18 : 6 = 9 : 3

b) \frac{3}{10}\frac{2}{3}\frac{5}{6}\frac{5}{9}

Il prodotto del 2° e del 3° termine è : \frac{2}{3}  x \frac{5}{6}  = semplificando = \frac{5}{9}

Il prodotto del 1° e del 4° termine è : \frac{3}{10}  x \frac{5}{9}  = semplificando = \frac{1}{6}

Essendo i due prodotti diversi, , i quattro numeri, nell’ordine dato non formano una proporzione.

 

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE

In ogni proporzione con ciascun antecedente maggiore del proprio conseguente, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo termine ( o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto termine sta al terzo termine (o al quarto).

a:b= c:d  con a>b  e c>d è una proporzione allora anche   (a – b):a = (c – d):c   e       ( a – b):b = ( c  -d):d

 

6 : 5 =18:  15               (6 – 5 ) : 6=(18 – 15) : 18              (6 – 5 ) : 5 = ( 18 – 15 ) : 15

                                     1 : 6 = 3 : 18                                   1 : 5 = 3 : 15

Vedi anche la proprietà dello comporre, del permutare e dell‘invertire.

Vedi gli esercizi

Proprietà del comporre delle proporzioni

PROPRIETA’ DEL COMPORRE

In ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo termine ( o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine ( o al quarto ).

Se a : b = c : d   allora anche ( a+b) : a = ( c + d ) : c   e   (a+b) : b = ( c + d ) : c  sono proporzioni

6 : 5 = 18 : 15

1) ( 6+5)  : 6 = (18 +15) : 18 cioè 11:6 =33:18

2) ( 6+ 5) : 5 = ( 18 + 15 ): 15 cioè 11: 5 = 33 : 15

1 e 2 sono ancora delle proporzioni perchè vale la proprietà fondamentale  198= 198 ;

165 = 165

La proprietà del comporre determina un’altra proprietà ( uguaglianza di più rapporti) che vale nel caso di proporzioni formate dall’uguaglianza di più di due rapporti.

In una sequenza di rapporti uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente.

Ad esempio: x : 2 = y : 3 = z : 5          dove x + y + z = 90

Avremo : ( x + y + z ) : ( 2 + 3 + 5 ) =  x : 2 = y : 3 = z : 5

( x + y + z ) : ( 2 + 3 + 5 ) =  x : 2

( x + y + z ) : ( 2 + 3 + 5 ) = y : 3

( x + y + z ) : ( 2 + 3 + 5 ) =  z : 5

 

Vedi proprietà dello scomporre, permutare e invertire

Vedi gli esercizi

Proprietà del permutare delle proporzioni

PROPRIETA’ DEL PERMUTARE

Se in una proporzione si scambiano i medi, gli estremi o entrambi, si ottiene ancora una proporzione.

a : b = c : d                             6 : 5 = 18 : 5

a : c = b : d                            6 : 18 = 5 : 15

d : b = c : a                            15 : 5 = 18 : 6

d : c = b : a                            15 : 18 = 5 : 6

Applicando le proprietà del permutare e dell’invertire a una proporzione se ne possono ricavare altre 7 con gli stessi termini.

Per esempio consideriamo la proporzione 2:4=21:42

proporzioni

proprietà del permutare delle proporzioni

Vedi proprietà del comporre, dello scomporre e dell’invertire

Vedi gli esercizi

Proprietà dell’invertire delle proporzioni

PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE

Se in una proporzione si scambia  ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.

a : b = c : d                       b : a = d : c

6 : 5 = 18 : 15                  5 : 6 = 15 : 18

Vedi proprietà del comporre, dello scomporre e del permutare.

Vedi gli esercizi