Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

Qualche volta tale procedura è molto conveniente, perchè consente riduzioni e semplificazioni nei calcoli in cui sono presenti i radicali.

Consideriamo per capire questo procedimento subito un esempio:

\sqrt[3]{a^{5} b^{6} c^{2}  }

Quello che possiamo fare è portare fuori dalla radice cubica quei fattori che presentano un esponente maggiore o uguale all’indice del radicale assegnato; tali fattori sono  a^{5} e  b^{6}.

Per capire meglio possiamo scindere i fattori che non sono multipli dell’indice:

\sqrt[3]{a^{5} b^{6} c^{2}  }   =   \sqrt[3]{a^{3}a^{2} b^{6} c^{2}  }    \sqrt[3]{a^{3} \cdot a^{2}   }   · \sqrt[3]{b^{6}    }   · \sqrt[3]{c^{2}    }    =  ab ^{2} ·\sqrt[3]{a^{2}  c^{2}  }

\sqrt[4]{ a^{13}}   = a ha esponente maggiore di 4, ma non è un multiplo; lo possiamo scrivere come prodotto di  a^{12} \cdot a

\sqrt[4]{ a^{13}}   = \sqrt[4]{ a^{12} \cdot a} = \sqrt[4]{ a^{12} } · \sqrt[4]{ a } =  a^{3} \cdot \sqrt[4]{a}  Potevamo procedere anche direttamente svolgendo la divisione 13:4 = 3 con resto di 1

Capito ciò possiamo concludere che:

Per portar fuori radice un fattore interno di un radicale si scompone il radicando in prodotto di fattori primi. I fattori che possono essere trasportati fuori dal segno di radice sono quelli che hanno esponente multiplo (e quindi anche uguale) e quelli che hanno esponente maggiore dell’indice della radice. Gli esponenti dei fattori portati fuori radice sono i quozienti delle divisioni tra i corrispondenti esponenti dei fattori sotto radice e l’indice del radicale; gli esponenti dei fattori sotto il segno di radice sono i resti delle suddette divisioni. Se la divisione è esatta il resto è 0, il fattore sotto il segno di radice si presenterà con esponente 0 e, poichè un numero diverso da zero elevato alla 0 è uguale a 1 e l’unità è l’elemento neutro della moltiplicazione, sarà superfluo scrivere tale fattore sotto il segno di radice.

Trasporto di un fattore dentro al segno di radice

Un qualunque numero reale assoluto a si può scrivere sotto forma di radicale aritmetico di indice n e di radicando  a^{n }. Quindi a = \sqrt[n]{a^{n }}

Esempi:

xy ^{2} \cdot \sqrt[3]{x} =  \sqrt[3]{(xy ^{2})^{3}  x}  =   \sqrt[3]{x^{3} y ^{6}  x} =  \sqrt[3]{x^{4} y ^{6}  }

-5\sqrt{2} è possibile portare solo i 5 dentro quindi averemo:

-5\sqrt{2} = – \sqrt{5^{2} \cdot 2}    =  – \sqrt{50}

Consideriamo un caso particolare:

(x – 1)\sqrt{x}    In questo esempio bisogna considerare due casi e cioè se x ≥ 1 e quindi il fattore esterno risulta non negativo e anche se x <1.

Se x≥ 1

(x – 1)\sqrt{x}     = \sqrt{(x - 1) ^{2} \cdot x}

Se x <1 (x – 1) sarà un numero negativo quindi gli cambiamo i segni moltiplicandolo per – 1 e otterremo:

(x – 1)\sqrt{x}     = – (1 – x)\sqrt{x}      = – \sqrt{(1 - x) ^{2} \cdot x}

Concludendo possiamo dire:

Per portare sotto radice un fattore esterno di un radicale aritmetico si scrive un radicale che ha l’indice uguale a quello del radicale dato e per radicando il prodotto del radicando dato per la potenza di base il fattore esterno e di esponente l’indice del radicale.

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Vedi gli esercizi