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Programma geometria seconda media

PROGRAMMA GEOMETRIA  SECONDA MEDIA

AREA DEI POLIGONI

FIGURE EQUIVALENTI

AREA DI UNA SUPERFICIE

AREA DEL RETTANGOLO

AREA DEL QUADRATO

AREA DEL PARALLELOGRAMMA

AREA DEL TRIANGOLO

AREA DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

FORMULA DI ERONE

AREA DEL ROMBO

AREA DEL TRAPEZIO

AREA DI UN POLIGONO REGOLARE

IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI

IL TEOREMA DI PITAGORA

IL TEOREMA DI PITAGORA IN FORMULE

TERNE PITAGORICHE

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL RETTANGOLO

TRIANGOLO RETTANGOLO: PROIEZIONE DEI CATETI SULL’IPOTENUSA

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL TRIANGOLO ISOSCELE

 APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA  AL ROMBO

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL TRAPEZIO RETTANGOLO

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL TRAPEZIO ISOSCELE

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL QUADRATO

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA AL TRIANGOLO EQUILATERO

ISOMETRIE

CONGRUENZA E ISOMETRIA

TRASLAZIONE

ROTAZIONE

SIMMETRIA CENTRALE

SIMMETRIA ASSIALE

SIMILITUDINE

FIGURE SIMILI

CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI

IL TEOREMA DI TALETE

PROPORZIONALITA’ FRA I PERIMETRI ED I LATI CORRISPONDENTI

PROPORZIONALITA’ FRA LE AREE DI DUE POLIGONI SIMILI

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

FIGURE OMOTETICHE

SCALA DI RIDUZIONE

 

Scale di riduzione

Non sempre un oggetto può essere rappresentato su un foglio di carta nella sua lunghezza reale perchè può essere di dimensioni più grandi di quelle del foglio che si vuole adoperare.

Così ad esempio, su un foglio largo 20 cm non possiamo rappresentare la lunghezza di un bastone lungo 120 cm e, tanto meno, possiamo rappresentarvi, nella sua lunghezza reale, una strada lunga 10 Km, oppure un fiume lungo 600 Km.

Tuttavia, possiamo rappresentare, sulla carta, le lunghezze degli oggetti se questi li disegniamo con  dimensioni più piccole. Ma per poter far ciò, dobbiamo stabilire un rapporto fra la lunghezza reale dell’oggetto e la sua lunghezza nel disegno.

Così, ad esempio, volendo disegnare un bastone lungo 120 cm possiamo disegnare un segmento lungo 12 cm, per cui, chiamando lunghezza reale e lunghezza grafica rispettivamente la lunghezza del bastone e la sua lunghezza nel disegno, abbiamo:

\frac{lunghezza grafica}{lunghezza reale}=\frac{12cm}{120cm}= \frac{1}{10}

Il rapporto \frac{1}{10} fra la lunghezza grafica e la lunghezza reale si chiama scala di riduzione.

Analogamente, volendo rappresentare una strada lunga 10 Km possiamo disegnare un segmento lungo 10 cm. Ed essendo 10 Km = 1 000 000 cm, abbiamo:

\frac{lunghezza grafica}{lunghezza reale}=\frac{10cm}{1000000cm}= \frac{1}{100000}

in cui \frac{1}{100000} è la scala di riduzione.

In generale si chiama scala di riduzione il rapporto tra la lunghezza grafica e la lunghezza reale misurata con la stessa unità di misura.

Indicando con A e con B rispettivamente la lunghezza grafica e la lunghezza reale, misurata con la stessa unità di misura e con \frac{1}{n} la scala di riduzione, abbiamo la relazione:

\frac{A}{B}=\frac{1}{n} da cui ricaviamo le altre:

A= B \times \frac{1}{n}   ;      B= A\times n

le quali dicono che:

  • una lunghezza grafica è uguale alla lunghezza reale moltiplicata per la scala di riduzione;
  • una lunghezza reale è uguale alla lunghezza grafica moltiplicata per l’inversa della scala reale.

ESEMPIO:

Rappresentare graficamente, nella scala 1: 100 la lunghezza di una stanza di 6 m.

Si ha :

lunghezza grafica= lunghezza reale  x  scala di riduzione

6m = 600 cm

6m x \frac{1}{n} = \frac{600}{100}cm=6cm

ESEMPIO

Calcolare la distanza fra due città sapendo che, in una carta geografica, nella scala 1 : 3 000 000 la loro distanza è di 7 cm.

Si ha:

lunghezza reale= lunghezza grafica x inverso della scala di riduzione

7 cm x 3 000 000 = 21 000 000 cm =210 km

Figure omotetiche

Consideriamo queste due figure:

I triangoli BCD e B’C’D’ sono simili, ma oltre a essere simili hanno un ‘ altra  caratteristica in più e cioè i lati corrispondenti hanno la stessa direzione cioè sono paralleli.

Nel linguaggio matematico si dice che le due figure sono  omotetiche.

La trasformazione che lega le due figure è detta omotetia.

Possiamo verificare usando un righello, che le rette passanti per i punti corrispondenti, cioè le rette DD’, CC’, BB’ si incontrano tutte in uno stesso punto A, detto centro di omotetia.

Due figure sono omotetiche se i loro punti corrispondenti sono allineati su rette che si incontrano tutte in un punto, detto centro dell’omotetia, e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di proporzionalità k, si chiama rapporto di omotetia.

Nel caso dei triangoli della figura di sopra avremo:

FIGURE OMOTETICHE

 

Per costruire due figure omotetiche F ed F’ occorre conoscere il centro di omotetia e il rapporto di omotetia k.

La caratteristica k dell’omotetia determina il rimpicciolimento o l’ingrandimento della figura. In particolare:

• Se k > 1 si ha un ingrandimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa;

• Se k < 1 si ha un rimpicciolimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa;

• Per k = 1 la figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame è coincidente se l’omotetia è diretta, si dice quindi che è un’identità. Nell’omotetia inversa si ha una simmetria centrale.

Un’omotetia può essere diretta o inversa.

• Parliamo di omotetia diretta se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell’omotetia, dalla stessa parte dei vertici della figura data. Quindi la figura e la sua immagine sono dalla stessa parte rispetto al centro di omotetia.

 

  • Parliamo di omotetia inversa se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell’omotetia, dalla parte opposta dei vertici della figura data. Quindi la figura e la sua immagine sono da parti opposte rispetto al centro di omotetia.

 

 

Secondo teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC rettangolo in C. Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa e vediamo che risulterà diviso dall’altezza CH in due triangoli rettangoli AHC e HBC simili ad ABC, avendo gli angoli congruenti.

euclide

 

 

Il triangolo AHC e HBC essendo simili ad ACB  per il primo teorema di Euclide, sono simili tra loro, vale quindi la proporzione:

AH : CH = CH : HB

Osservando la proporzione possiamo enunciare il secondo teorema di Euclide.

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.

Il secondo teorema di Euclide lo si può enunciare diversamente, Considerando che AH : CH = CH : HB, otteniamo:

  • CH² = AH x HB    quindi:   CH = \sqrt{AH \times HB}

Quindi possiamo affermare che:

il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.

Ecco la rappresentazione geometrica del secondo teorema di Euclide:

TEOREMA DI EUCLIDE 2

 

Primo teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC rettangolo in C. Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa e vediamo che risulterà diviso dall’altezza CH in due triangoli rettangoli AHC e HBC simili ad ABC, avendo gli angoli congruenti.

euclide

il teorema di Euclide

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

Consideriamo i triangoli ABC e AHC disegnati sopra:

primo teorema di euclide 1

primo teorema di Euclide

 

Consideriamo i triangoli ABC e CBH disegnati sopra:

primo teorema di euclide 2

il teorema di Euclide

Possiamo enunciare il primo teorema di Euclide.

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Tale teorema si può enunciare anche diversamente, infatti, dalle proporzioni:

AH : CA = CA : AB                   HB : BC = BC : AB

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, otteniamo:

  • CA² = AH x AB   quindi    CA = \sqrt{AH \times AB}
  • BC² = HB x AB    quindi   BC = \sqrt{HB \times AB}

Possiamo enunciare il primo teorema di Euclide anche così:

il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Ecco la rappresentazione geometrica:

TEOREMA DI EUCLIDE

rappresentazione del teorema di Euclide

Vedi gli esercizi

Proporzionalità fra le aree di due poligoni simili

Proviamo a stabilire se esiste una relazione fra le aree di poligoni simili.

Consideriamo due rettangoli simili ABCD e A’B’C’D’, aventi rapporto di similitudine K=2

poligoni simili 4

poligoni simili

Le aree di due poligoni simili sono proporzionali al quadrato del rapporto di similitudine cioè il rapporto fra i quadrati delle lunghezze di due lati corrispondenti.

Vedi gli esercizi

Proporzionalità fra perimetri e lati corrispondenti

Consideriamo due poligoni simili ABCD e A’B’C’D':

poligoni simili 2

proporzionalità fra i perimetri

Si ha:

poligoni simili 3

proporzioni tra perimetri e lati

Possiamo quindi dire che:

in due poligoni simili i perimetri sono proporzionali a due lati corrispondenti.

Vedi gli esercizi

Criteri di similitudine dei triangoli

Solo per i triangoli valgono dei criteri che ti permettono di determinare se essi sono simili senza dover verificare che gli angoli corrispondenti siano congruenti e che il rapporto tra tutti i lati corrispondenti sia costante.

primo criterio di similitudine

primo criterio di similitudine

 

secondo criterio di similitudine

secondo criterio di similitudine

terzo criterio di similitudine

terzo criterio di similitudine

Vedi gli esercizi

Figure simili

La similitudine è una trasformazione non isometrica che trasforma una figura nella sua immagine.

Quindi due figure che hanno la stessa forma senza necessariamente avere la stessa estensione, cioè senza essere equivalenti, sono dette simili.

FIGURE SIMILI

figure simili

Di una stessa figura possiamo avere due riproduzioni, una più grande e l’altra più piccola adoperando scale di riduzione diverse.

E se riflettiamo vediamo che tutte le dimensioni delle due figure mutano in modo proporzionale, mentre tutti gli angoli si conservano uguali, per cui se un angolo muta, la figura cambia di forma.

Vediamo quando possiamo affermare che due poligoni sono simili. Disegniamo un poligono ABCD ed un poligono  A’B’C’D’ ingrandito il doppio rispetto al primo poligono; esso avrà gli angoli ordinatamente uguali a quelli del poligono dato e i lati uguali al doppio dei corrispondenti lati di tale poligono.

poligoni simili

poligoni simili

Diciamo perciò che:

due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti uguali ed i lati corrispondenti proporzionali e quindi il rapporto tra essi è costante.

L’ampiezza degli angoli e il rapporto fra i lati corrispondenti sono invarianti per la similitudine. Il rapporto fra due lati corrispondenti prende il nome di rapporto di similitudine e si indica con K.

Si può verificare che:

  • se k>1  F’ è un ingrandimento di F;
  • se k=1  F’ ed F sono congruenti;
  • se k<1  F’ è una riduzione di F.

Vedi gli esercizi

Simmetria assiale

SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA

ASSE DI SIMMETRIA

simmetria rispetto a una retta

LA SIMMETRIA ASSIALE COME CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

Abbiamo detto che due punti si dicono simmetrici rispetto ad una retta se hanno uguale distanza dalla retta.

Assegnando perciò una retta r possiamo costruire di un qualsiasi punto A il suo simmetrico A’. Al punto A possiamo quindi far corrispondere il punto A’. Viceversa, se assegniamo il punto A’, possiamo ad esso far corrispondere il punto A.

 

simmetria assiale

simmetria assiale

 

simmetria assiale 1

simmetria assiale

 

La simmetria assiale è un ribaltamento, infatti, per ottenere F’ abbiamo effettuato un movimento che ha fatto uscire F dal piano su cui giace. Se ricalchiamo la figura F su un foglio di carta trasparente e proviamo a spostare il foglio sul piano in modo da far sovrapporre F a F’ ci accorgiamo che ciò non  è possibile: occorre proprio effettuare un movimento che faccia uscire F dal piano.

Le due figure F ed F’, per come sono state ottenute, sono congruenti:

simmetria assiale 2

Ivertici A,B,C di F si susseguono in verso antiorario mentre i vertici A’,B’,C’ di F’ si susseguono in verso orario: la simmetria assiale è un’isometria inversa; F ed F’ sono inversamente isometriche.