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Problemi sulle misure

Problemi sulle misure

Risolvi i seguenti problemi. Attenzione alle equivalenze!

1) La metropolitana di Milano è lunga 48 km ed è 100 hm più lunga di quella di Roma. Quanti chilometri è lunga la metropolitana di Roma?

2) Una confezione di biscotti pesa 250 g. Quanti chilogrammi pesano 8 confezioni uguali?

3) Un treno è lungo 180 m. Ogni vagone è lungo 2 dam. Da quanti vagoni è formato il treno?

4) Una bottiglia di aranciata ha la capacità di 2 l. La mamma versa tutta l’aranciata in bicchieri da 2 dl. Quanti bicchieri riempie?

5) In una cisterna che conteneva 1 300 litri di gasolio sono stati aggiunti altri 20 dal. Quanti ettolitri contiene la cisterna?

6) Per completare il pavimento di un salone occorrono 24 m di battiscopa. Ogni lista di battiscopa misura 3 dm. Quante liste occorrono?

7) Alcuni operai devono asfaltare una strada lunga 30 km. Hanno già asfaltato 180 hm. Quanti chilometri rimangono da asfaltare?

8) Il signor Antonio deve trasportare con il suo furgone 8 scatoloni da 20 kg ciascuno e 12 casse da 150 hg ciascuna. Quanto pesano tutti gli scatoloni? E tutte le casse? Quanti chilogrammi pesano complessivamente le merci che trasporta Antonio?

9) Luca abita a 800 m dalla scuola, Lisa a 1 km. Chi abita più vicino alla scuola? Di quanti metri?

10) Una lattina contiene 65 cl di aranciata. Quanti decilitri di aranciata ci sono in 8 lattine?

SVOLGIMENTO

1) La metropolitana di Milano è lunga 48 km ed è 100 hm più lunga di quella di Roma. Quanti chilometri è lunga la metropolitana di Roma?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da hm a km quindi: 100 hm = 10 km

lunghezza mnetropolitana di Roma = 48 -10 = 38 km

2) Una confezione di biscotti pesa 250 g. Quanti chilogrammi pesano 8 confezioni uguali?

Peso in  grammi biscotti: 250 g x 8 = 2 000 g

Poi facciamo l’equivalenza da g a chilogrammi= 2 000 g = 2 kg

3) Un treno è lungo 180 m. Ogni vagone è lungo 2 dam. Da quanti vagoni è formato il treno?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da dam a m :  2 dam = 20 m

Il numero di vagoni = 180 m : 20 m = 9

4) Una bottiglia di aranciata ha la capacità di 2 l. La mamma versa tutta l’aranciata in bicchieri da 2 dl. Quanti bicchieri riempie?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da l a dl:  2 l = 20 dl

bicchieri riempiti = 20 dl : 2 dl = 10

5) In una cisterna che conteneva 1 300 litri di gasolio sono stati aggiunti altri 20 dal. Quanti ettolitri contiene la cisterna?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da dal a l : 20 dal = 200 l

l della cisterna = 1 300 + 200 l = 1 500 l

Poi facciamo l’equivalenza da l a hl : 1 500 l = 15 hl

6) Per completare il pavimento di un salone occorrono 24 m di battiscopa. Ogni lista di battiscopa misura 3 dm. Quante liste occorrono?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da m a dm: 24 m = 240 dm

liste occorrenti = 240 : 3 = 8

7) Alcuni operai devono asfaltare una strada lunga 30 km. Hanno già asfaltato 180 hm. Quanti chilometri rimangono da asfaltare?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da hm a km : 180 hm = 18 km

km da asfaltare = 30 – 18 = 12 km

8) Il signor Antonio deve trasportare con il suo furgone 8 scatoloni da 20 kg ciascuno e 12 casse da 150 hg ciascuna. Quanto pesano tutti gli scatoloni? E tutte le casse? Quanti chilogrammi pesano complessivamente le merci che trasporta Antonio?

totale peso scatoloni = 20 kg x 8 = 160 kg

totale peso casse = 12 x 150 hg= 1800 hg

Faccio l’equivanza da hg a kg :  1800 hg = 180 kg

Peso totale dgli scatoloni e delle casse in kg = 160 kg + 180 kg = 340 kg

9) Luca abita a 800 m dalla scuola, Lisa a 1 km. Chi abita più vicino alla scuola? Di quanti metri?

Prima di tutto facciamo l’equivalenza da km a m : 1 km = 1 000 m

Abita Lisa più lontana

metri di differenza tra Lisa e Luca : 1 000 m  – 800 m = 200 m 

10) Una lattina contiene 65 cl di aranciata. Quanti decilitri di aranciata ci sono in 8 lattine?

cl contenuti in 8 lattine = 65 x 8 = 520 cl

Poi si svolge l’equivalenza da cl a dl:  520 cl = 52 dl

 

Le misure di tempo

L’orologio è lo strumento che segna il trascorrere del tempo nel corso della giornata.

L’unità di misura fondamentale del tempo è il secondo. Altre unità di misura sono: il minuto, l’ora, il giorno.

1 minuto (m) → 60 secondi (s)                   1 ora (h) → 60 minuti (m)                1 giorno (d) → 24 ore (h)

Il calendario indica le date che si susseguono nel corso di un anno con il trascorrere di giorni, settimane, mesi.

1 settimana → 7 giorni           1 mese → 28 o 30 o 31 giorni         1 anno → 365 giorni o 52 settimane o 12 mesi

Per misurare i tempi della storia si usano l’anno e i suoi multipli:

lustro → 5 anni            decennio → 10 anni                 secolo → 100 anni                   millennio → 1 000 anni

tempo 1

tabella del tempo

Nella scrittura delle misure di tempo non si usa la virgola, perchè il sistema non è decimale.

Per separare ore, minuti e secondi si può:

  • Lasciare uno spazio: 12 45
  • Mettere un puntino o due puntini: 12.45 o  12 : 45
  • Usare le marche : 12 h 45 min

Problemi

1) Michele inizia i compiti alle 16: 30 e termina alle 17: 30. Quanto tempo ha impiegato in tutto?

2) Il treno diretto a Firenze parte alle 9: 45. Elisa arriva in stazione alle 9:10. Quanto tempo deve aspettare prima di partire?

3) La prossima settimana la famiglia di Cinzia partirà per le vacanze. La partenza è prevista per le ore 8:30, l’arrivo per le ore 17: 45. Quanto durerà il viaggio.

4) Luigi parte dall’aeroporto alle ore 20:30, a che ora arriverà se il viaggio durerà un’ora e mezza?

Esercizio 

Svolgi le seguenti equivalenze sul tempo.

3 min =…….s                             120 h =………d

2h =……….min                           3d = ……….min

60 min = ….. h                           90 =……….s

300 s =…….min                         3 min = ……..s

6 000 min=………h                     420 s =……..h

2 mesi = …….. d                           36 h =…… d

4 secoli =……….anni                    8 lustri =……..decenni

SVOLGIMENTO

Problemi

1) Michele inizia i compiti alle 16: 30 e termina alle 17: 30. Quanto tempo ha impiegato in tutto?

Il tempo impiegato = 17,30 – 16, 30 = 1 h

2) Il treno diretto a Firenze parte alle 9: 45. Elisa arriva in stazione alle 9:10. Quanto tempo deve aspettare prima di partire?

Tempo da aspettare = 9,45 – 9,10 = 0,30 = 30 minuti

3) La prossima settimana la famiglia di Cinzia partirà per le vacanze. La partenza è prevista per le ore 8:30, l’arrivo per le ore 17: 45. Quanto durerà il viaggio.

durata viaggio = 17,45 – 8,30 = 9, 15  → 9 ore e 15 minuti

4) Luigi parte dall’aeroporto alle ore 20:30, a che ora arriverà se il viaggio durerà un’ora e mezza?

orario arrivo= 20,30 + 1,30 = 22

Esercizio 

Svolgi le seguenti equivalenze sul tempo.

3 min =180 s                             120 h = 5 d

2h =120 min                              3d =4 320 min

60 min =1 h                               90 min =540 s

300 s =5 min                             3 h  = 10 800 s

6 000 min=100 h                     420 s =7 min

2 mesi = 60 d                            36 h =…… d

4 secoli =400 anni                    8 lustri =4 decenni

La divisione canadese

Un ottimo sistema per eseguire le divisioni fu inventato molto tempo fa dai commercianti canadesi.

La divisione canadese si basa sulla tecnica delle sottrazioni successive.

divisione canadese

 

Prova del nove della moltiplicazione e divisione

Calcolo della prova del 9 per le moltiplicazioni

Per capire la prova del nove è bene partire da un esempio.
83 x 23 = 1 909
Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9.

 

 

Si traccia una croce e la riempiamo con i seguenti numeri:
In alto a sinistra: si sommano le cifre del primo fattore (8 + 3) = 11, si continuano a sommare finché non resta un numero ad una sola cifra (1 + 1=2)

2

 

 

In alto a destra facciamo lo stesso procedimento con il secondo fattore (2+3 = 5)

2 5

 

 

In basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri in alto sulla croce, e si riduce il risultato ad una sola cifra, sommandone le cifre (2 x 5 = 10 → 1 + 0 = 1)

2 5
1

 

 

Infine in basso a destra mettiamo la somma delle cifre del numero che noi crediamo sia il risultato dell’operazione (1+9 +0 + 9 = 19 → 1+ 9 = 10→ 1 + 0 = 1)

2 5
1 1

 

 

Se i due numeri in basso sono uguali la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo.
Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la moltiplicazione è sicuramente errata, mentre se ha esito positivo, il risultato trovato da noi potrebbe differire dal risultato reale per un multiplo di 9.
Riepiloghiamo:

somma cifre primo fattore somma cifre secondo fattore
somma cifre dei due numeri in alto somma cifre risultato moltiplicazione iniziale

Calcolo della prova del 9 per le divisioni intere

Dal momento che dividendo : divisore = quoziente
Segue che divisore x  quoziente = dividendo
Per cui abbiamo:

somma cifre divisore somma cifre quoziente
somma cifre del prodotto dei due numeri in alto somma cifre dividendo

Calcolo della prova del 9 per le divisioni con resto

Dal momento che dividendo : divisore = quoziente con resto non 0
Segue che divisore x quoziente + resto = dividendo
Per cui abbiamo:

somma cifre divisore somma cifre quoziente
somma cifre del prodotto dei due numeri in alto+ somma cifre resto somma cifre dividendo

Facciamo  un esempio:
732 : 17 = 43 con resto 1

43 x 17 = 732

Divisore = 17 = 1 + 7 = 8              quoziente = 43 = 4 + 3 = 7

Somma cifre del prodotto dei due numeri in alto+ somma cifre resto =  8×7= 56 → 5 + 6 = 11 → 1 + 1 = 2 a esso bisogna aggiungere la somma del resto che è solo 1 quindi 2 + 1 = 3

La somma delle cifre dividendo= 732 = 7 + 3 + 2 = 12 → 1 + 2 = 3


3
7
3 3

Peso lordo, peso netto, tara

Molte merci che acquistiamo sono confezionate in contenitori.

Il peso  della merce unito a quello del contenitore si chiama peso lordo.

Il peso della sola merce senza il contenitore si chiama peso netto.

Il peso del contenitore vuoto senza la merce si chiama tara.

Per effettuare gli esercizi riguardo peso lordo, peso netto e tara bisogna considerare i casi possibili che possiamo incontrare.

  • Abbiamo il peso netto e la tara e vogliamo conoscere il peso lordo:

peso lordo = peso netto + tara

  • Abbiamo il peso lordo e il peso netto e vogliamo conoscere la tara:

tara = peso lordo peso netto 

  • Abbiamo il peso lordo e la tara e vogliamo conoscere il peso netto:

peso netto= peso lordo tara

Esercizio n° 1

Calcola il valore mancante.

Peso lordo Peso netto Tara
18 kg 2 kg
350 g 50 g
39 hg 37 hg
1 060 g 1 000
375 g 300 g
1 020 40 g
620  g 160 g
400 g 90 g
920 g 80 g

Esercizio n° 2

Esegui i seguenti problemi.

a) Valentina compra una scatola di biscotti del peso totale di 250 g. Se il peso netto è di 200 g, quanto pesa la scatola?

b) Uno scatolone pesa 250 g. Viene riempito con 1 750 g di carta. Quant’è il peso lordo in grammi? E in chilogrammi?

c) Un secchio di plastica vuota pesa 1 kg. Quanto pesa in tutto se viene riempito con 5 kg di sabbia?

d) Un barattolo pieno di marmellata pesa 750 g. Il barattolo vuoto pesa 125 g. Quanto pesa la marmellata?

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Calcola il valore mancante.

Peso lordo Peso netto Tara
18 kg 16 kg 2 kg
400 g 350 g 50 g
39 hg 37 hg 2 hg
1 060 g 1 000  60 g
375 g 300 g  75 g
1 020 g  980 g 40 g
 780 g 620  g 160 g
400 g 310 g  90 g
 1 000 g 920 g 80 g

Esercizio n° 2

Esegui i seguenti problemi.

a) Valentina compra una scatola di biscotti del peso totale di 250 g. Se il peso netto è di 200 g, quanto pesa la scatola?

tara = peso lordo peso netto 

tara = 250200 = 50 g

La scatola pesa 50 g.

b) Uno scatolone pesa 250 g. Viene riempito con 1 750 g di carta. Quant’è il peso lordo in grammi? E in chilogrammi?

peso lordo = peso netto + tara

peso lordo = 1 750 g + 250 = 2 000 g

c) Un secchio di plastica vuota pesa 1 kg. Quanto pesa in tutto se viene riempito con 5 kg di sabbia?

peso lordo = peso netto + tara

peso lordo = 5 kg +1 kg = 6 kg

d) Un barattolo pieno di marmellata pesa 750 g. Il barattolo vuoto pesa 125 g. Quanto pesa la marmellata?

peso netto= peso lordo tara

peso netto= 750 g – 125 g = 625 g

Il chilogrammo e le equivalenze

L’unità fondamentale delle misure di peso è il chilogrammo.

Per determinare in modo esatto le misure di peso è necessario utilizzare i sottomultipli del chilogrammo e del grammo.

I sottomultipli del grammo sono :Il decigrammo (dg) , il centigrammo (cg) e il milligrammo (mg), sono rispettivamente 10, 100, 1 000 volte più piccoli del grammo.

1 g = 10 dg           1 g = 100 g            1 g = 1 000 mg

I sottomultipli del chilogrammo (kg)  sono decagrammo (dag), ettogrammo (hg) e grammo (g)

1 kg = 10 hg      1 hg = 10 dag    e 1 dag = 10 g

Per misurare il peso di animali o di cose veramente pesanti si è stabilita un’unità di misura adatta il megagrammo (Mg)

chilogrammo

Per trasformare una misura di massa da un’unità in un’altra:

  • Se è di ordine superiore, si divide per 10, 100, 1000.

270 g = 2, 70 hg   abbiamo diviso per 1oo poichè hg è di ordine superiore rispetto a g e quindi ci siamo spostati di due posti verso sinistra;

42 dag = o,ooo42 Mg   abbiamo  diviso per  100 000 poichè Mg è di ordine superiore rispetto a dg e quindi ci siamo spostati di 5 posti verso sinistra.

  • Se è di ordine inferiore, si moltiplica per 10, 100, 1 000.

32 Kg = 320000 dg   abbiamo moltiplicato per 10 000 poichè dg è di ordine inferiore rispetto a Kg e quindi ci siamo spostati di 4 posti verso destra;

270 hg = 27000 g   abbiamo moltiplicato per 100 poichè g è di ordine inferiore rispetto ad hg e quindi ci siamo spostati di due posti verso destra.

Esegui le trasformazioni indicate delle misure della massa e del peso:

Ricorda : kg → hg → dag → g → dg → cg → mg

1) kg → g

Si moltiplica per 1 000:

36 kg = 36 x 1 000 = 36 000 g

2) Mg → hg

Si moltiplica per 10 000:

1,36 Mg = 1,36 x 10 000 = 13 600 hg

3) mg → dg

Si divide per 100:

265 mg = 265 : 100 = 2, 65 dg

4) cg → dag

Si divide per 1 000:

503,6 cg = 503,6 : 1 000 = 0,5036 dag

Vedi gli esercizi

Vedi la lunghezza

Vedi la capacità

Il litro e le equivalenze

L’unità fondamentale delle misure di capacità è il litro.

Per determinare in modo esatto le misure di capacità è necessario utilizzare i sottomultipli del litro.

Un litro se viene diviso in dieci parti uguali, ogni singola parte si chiama decilitro (dl) quindi 1l = 10 dl.

Il decilitro a sua volta se è diviso in dieci parti uguali,ogni singola parte si chiama centilitro (cl) quindi 1 dl = 10 cl ma  1l = 100 cl.

Infine se il centilitro viene diviso in 10 parti, ogni singola parte si chiama millilitro (ml) quindi 1 cl = 10 ml e           1 dl = 100 ml, infine  1l = 1000 ml.

Il decilitro, centilitro e millilitro sono i sottomultipli del litro.

I miltipli del litro sono il decalitri (dal), ettolitro (hl) che sono rispettivamente più grandi del litro di 10 e 100 volte. Quindi 1 dal = 10 l   e 1 hl = 100 l.

litro

litro

ESEMPI

1) 76 hl= 760 dal;      2)0,6 cl= 0,006 l;       3) 3,17 dl= 317 ml;

4)292,8 l = 2,928 hl.

Esegui le trasformazioni indicate sulla misura della capacità:

1) l → cl

Si moltiplica per 100:

32 l = 32 x 100 = 3 200 cl

2) hl → dl

Si moltiplica per 1 000:

2,5 hl = 2,5 x 1 000 = 2 500 dl

3) ml → cl

Si divide per 10:

1 500 ml = 1 500 : 10 = 150 cl

4) dl → dal

Si divide per 100:

54,5 dl = 54,5 : 100 = 0,545 dal

Vedi gli esercizi

Vedi la lunghezza

Vedi il peso

 

Il metro e le equivalenze

L’unità fondamentale delle misure di lunghezza è il metro.

Per determinare con esattezza le misure della lunghezza di un oggetto è necessario utilizzare i sottomultipli del metro come:

il decimetro(dm)  che è la decima parte del metro, infatti, 1 m = 10 dm;

il centimetro(cm)  che è la centesima parte del metro ma è la decima parte del decimetro  infatti 1 m = 100 cm, ma 1 dm = 10 cm.

il millimetro(mm) è la millesima parte del metro, la 100 parte del decimetro e la decima parte del metro, infatti: 1m = 1000 mm,   1dm = 100 mm,  1cm= 10 mm.

Importanti per misurare misure molto grandi sono i multipli del metro che sono:

il decametro (dam) che è 10 volte più grande del metro infatti 1 dam = 10 m,

l’ettometro (hm) che è 100 volte più grande del metro e 10 più del decametro infatti 1 hm = 100 m e                1hm = 10 dam;

chilometro (km) che è 1000 volte più grande del metro, 100 in più del decametro e 10 in dell’ettometro infatti     1km = 1000 m,    1 km = 100 dam,   1 km = 10 hm

metro

lunghezza

Bisogna ricordare: il simbolo che rappresenta l’unità di misura si riferisce sempre alla cifra dell’unità:

246 cm = 2 m, 4 dm, 6 cm                                    1 653 m = 1km, 6 hm, 5 dam, 3 m

TRASFORMAZIONI SULLA MISURA DELLA LUNGHEZZA

Per trasformare una misura di lunghezza da un’unità a un’altra di cui è multipla, si moltiplica per 10, 100, 1 000… cioè se si fanno spostamenti verso destra; per trasformarla in una di cui è sottomultipla si divide per 10, 100, 1000,..cioè si fanno spostamenti verso sinistra.

Esegui le trasformazioni indicate relative alla lunghezza.

Ricorda : km ↔ hm ↔ dam ↔ m ↔ dm ↔ cm ↔ mm

1)  m → cm

Per passare dai m ai cm si moltiplica per 100:

15 m = 15 x 100 = 1 500 cm si parte dall’ unità cioè l’ultimo numero e si aggiungono due zeri

2) hm → dm

Si moltiplica per 1 000:

1, 23 hm = 1, 23 x 1000 = 1 230 dm  si parte dalla virgola e si contano tre posti

3) mm → cm

Si divide per 10:

132 mm = 132 : 10 = 13,2 cm  si fa uno spostamento a partire dalla virgola verso sinistra

4)  dm → dam

Si divide per 100:

32,6 dm = 32,6 : 100 = 0,326 dam si fanno due spostamenti verso sinistra e visto che non ci sono più numeri prima                                                                   della virgola allora si aggiungerà uno zero.

5) cm → hm

Si divide per 10 000

42 cm = 42 : 10 000= 0,0042 hm

Completa le uguaglianze:

4 m = 400 cm                       x 100

408 dm = 4,08 dam             : 100

56 cm = 560 mm                   x 10

7056 m = 70,56 hm              : 100

5 hm = 5 000 dm                   x 1 000

3,5 km = 35 hm                      x 10

42 cm = 0,0042 hm              : 1 000

7,56 hm = 75600 cm              x 1 000

42,5 dm = 0,0425 hm            : 1 000

48,64 dam = 4864 cm            x 100

Vedi gli esercizi

Il Sistema Internazionale di Misura

Per confrontare grandezze, misurandole, occorre usare un’altra grandezza dello stesso tipo, scelta come unità di misura o campione. Per poter ottenere di un oggetto sempre la stessa misura, bisogna scegliere un’unità di misura uguale per tutti: per questo è nato il Sistema Internazionale di Misura, che definisce le unità di misura convenzionali relative a ogni grandezza.

Non sempre però le grandezze si possono confrontare direttamente fra loro.

Per misurare grandezze occorre scegliere il campione, cioè l’unità di misura adatta.

Il Sistema Internazionale di Misura si chiama anche Sistema metrico di misura decimale, poichè è costruito sulla numerazione in base 10.

Questo sistema di misura prevede le seguenti unità di misura fondamentali:

il metro → simbolo m, per misurare distanze, lunghezze e anche altezze e larghezze;

il litro → simbolo l, per misurare capacità cioè quanto liquido può contenere un recipiente;

il chilogrammo → simbolo kg, per misurare pesi.

Oltre alle misure fondamentali di misura vi sono, poi, altre che ci consentono di effettuare misure 10, 100, 100 volte più grandi o 10, 100, 1000 volte più piccole dell’unità di misura fo0ndamentale. Esse si dicono multipli e sottomultipli.

Il perimetro e l’area

La lunghezza della linea di contorno che racchiude un poligono si chiama perimetro. Per calcolare il perimetro si sommano le misure delle lunghezze tutti i suoi lati.

perimetro 1

perimetro

I poligoni con perimetri uguali si dicono isoperimetrici.

La superficie è la parte piana occupata da un poligono. L’ area è la misura della superficie, quindi è la parte interna di un poligono.

Per misurare un’area occorre scegliere un’unità di misura che abbia una estensione. Poi bisogna ricoprire con l’unità di misura scelta l’area da misurare e contare quante volte vi è contenuta.

area 1

calcolo area

Abbiamo diviso il rettangolo in quadratini, il totale dei quadatini quindi rappresenta l’area.