Tag Archives: PROGRAMMA MATEMATICA TERZA MEDIA

Relazione di ordine stretto

Una relazione che gode della proprietà antiriflessiva, transitiva e asimmetrica si dice relazione d’ordine stretto.

Una relazione di ordine stretto può essere rappresentata dai simboli < minore> maggiore e le proprietà di cui gode possono essere rappresentate così:

< (non è minore) a                                             antiriflessiva

se a < b < c  allora a < c                                         transitiva

se a < b  allora b <(non è minore) a                   asimmetrica

Nell’insieme N  la relazione ℜ = ” …<… ” è una relazione di ordine stretto.

Relazione di ordine largo

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva si dice relazione di ordine largo.

Una relazione di ordine largo può essere rappresentata da simboli : ≤ (minore o uguale) e ≥ (maggiore o uguale) e le proprietà possono essere rappresentate così:

a ≤ a                                            riflessiva

se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c     transitiva

se a ≤ b e b ≤ a  allora a=b     antisimmetrica

Per esempio in  Q^{+} la relazioni ℜ “… ≥ …” è una relazione di ordine largo. Infatti è riflessiva, transitiva, antisimmetrica.

Relazione di equivalenza e partizione

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione di equivalenza.

Consideriamo l’insieme A:

259

insieme

e consideriamo la relazione:

ℜ = “… ha la stessa forma… ”

La relazione ℜ è una relazione di equivalenza in quanto sono verificate le proprietà:

  • riflessiva: ogni figura è in relazione con se stessa;
  • simmetrica: se una figura ha la stessa forma di un’altra, quest’ultima ha la stessa forma della prima;
  • transitiva: se una figura ha la forma di un’altra, e questa la stessa forma di una terza, la prima e la terza figura hanno la stessa forma.
260

rappresentazione Eurelo Venn

Questi sottoinsiemi sono detti classi di equivalenza perchè gli elementi della classe sono equivalenti fra loro relativamente alla forma: se si vuole una figura quadrata si può scegliere indifferentemente.

 

Proprietà transitiva degli insiemi

Una relazione ℜ definita in un insieme si dice transitiva quando, considerati tre elementi a, b, c appartenenti all’insieme, se a ℜ b e b ℜ c allora anche a ℜ c.

Consideriamo l’insieme A:

A= {carota, carciofo, cipolla, fagiolo, patata, pomodoro}

e la relazione:

ℜ =” … inizia con la stessa lettera di…”

possiamo notare che:

cipolla ℜ carota, carota ℜ carciofo, cipolla ℜ carciofo

258

Se un elemento è in relazione con un altro e questo è in relazione con un terzo, allora anche il primo e il terzo elemento sono in relazione tra loro.

Proprietà simmetrica degli insiemi

Una relazione ℜ definita in un insieme è simmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a ℜ b allora b ℜ a.

Consideriamo l’insieme A:

A= {carota, carciofo, cipolla, fagiolo, patata, pomodoro}

Possiamo applicare la relazione ℜ = “… inizia con la stessa lettera di …”  e osservare che :

carota ℜ carciofo, carciofo  ℜ carota, carciofo ℜ cipolla, cipolla ℜ carciofo, carota ℜ cipolla, cipolla ℜ carota, patata ℜ pomodoro, pomodoro ℜ patata.

La relazione ℜ è simmetrica.

Se un èlemento è in relazione con un secondo, allora anche il secondo è in relazione con il primo.

insiemi

proprietà simmetrica

PROPRIETA’ ANTISIMMETRICA

Una relazione ℜ definita in un insieme è antisimmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a ℜ b accade che b ℜ a solo se a = b.

PROPRIETA’ ASIMMETRICA

Una relazione ℜ definita in un insieme è asimmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a ℜ b succede che b  a.

 

Proprietà antiriflessiva

Una relazione ℜ definita in un insieme è antiriflessiva se nessun elemento dell’insieme è in relazione con se stesso.

Non tutte le relazioni sono riflessive; per esempio, la relazione “… è il figlio di …”  non è riflessiva perchè nessuno è figlio di se stesso, quindi si dice che è antiriflessivo.

Proprietà riflessiva

Una relazione ℜ definita in un insieme è riflessiva se ogni elemento dell’insieme è in relazione con se stesso.

Ogni elemento è in relazione con se stesso, infatti:

carota ℜ carota, carciofo ℜ carciofo, cipolla ℜ cipolla, fagiolo ℜ fagiolo, patata ℜ patata, pomodoro ℜ pomodoro

La relazione ℜ è riflessiva.

Da ogni elemento di A parte una freccia che ritorna all’elemento stesso.

insiemi

proprietà riflessiva

Relazioni in un insieme

Si dice relazione ℜ in un insieme A la relazione che associa a un elemento di A un altro elemento di A ed è rappresentata da un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x A.

Consideriamo l’insieme A formato dai componenti della famiglia Rossi: la madre Anna, il padre Giovanni, i due figli Luca e Ciro e la nonna paterna Ida, quindi:

C= {Anna, Giovanni, Luca, Ciro, Ida}

La frase”… è figlio di…”che indichiamo con ℜ, mette in relazione i seguenti elementi:  Luca ℜ Anna, Ciro ℜ Anna, Lucaℜ Giovanni, Ciro  ℜ Giovanni, Giovanni ℜ Ida.

Possiamo creare delle coppie ordinate dove sia il primo che il secondo elemento appartengono all’insieme A ottenendo il sottoinsieme B del prodotto cartesiano A x A.

B = {(Luca; Anna), ( Ciro; Anna), ( Luca; Giovanni), (Ciro; Giovanni), (Giovanni; Ida)} ⊂ A x A

insiemi

relazione di un insieme

Corrispondenza biunivoca

Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice biunivoca se associa a ogni elemento di A un solo elemento di B e viceversa, a ogni elemento di B associa un solo elemento di A.

Consideriamo gli insiemi:

A= {Francia, Grecia, Ungheria, Austria}

B = {Parigi, Atene, Budapest, Vienna}

insiemi

corrispondenza biunivoca

A ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B che rappresenta la relazione “…ha per capitale…”.

Invertendo il senso delle frecce otteniamo un’altra corrispondenza: quella da B verso A espressa dalla relazione ” …è la capitale di…”.

Anche in questo caso ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A: la corrispondenza è quindi biunivoca.

Se tra due insiemi possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca, essi hanno lo stesso numero di elementi, cioè sono equipotenti.

Esercizio

Riconosci la corrispondenza biunivoca.

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

Corrispondenza univoca

Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice univoca se associa a ogni elemento di A un solo elemento di B.

Consideriamo due insiemi:

A= { Liguria, Piemonte, Lazio, Abruzzo } l’insieme delle regioni di appartenenza

B = {  Genova, Torino, Roma, L’Aquila } l’insieme di quattro città.

insiemi

corrispondenza univoca

 

Risulta evidente che da ciascun elemento di A  parte una sola freccia verso gli elementi di B. Quindi tra i due insiemi esiste una corrispondenza univoca.

Esercizio

Riconosci la corrispondenza univoca.

CORRISPONDENZA UNIVOCA