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Tag Archives: PROGRAMMA MATEMATICA TERZA MEDIA

Funzioni suriettive, iniettive e biettive

Funzione suriettiva

Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

In una funzione suriettiva il codominio coincide con l’insieme d’arrivo.

funzione-suriettva

funzione suriettiva

Funzione iniettiva

Una funzione di A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A.

Se una funzione è iniettiva non accade mai che a due elementi di A corrisponda uno stesso elemento di B.

funzioni-iniettiva

Funzione iniettiva

Funzione biiettiva (o biunivoca)

Una funzione  da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva  sia suriettiva.

Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione  o corrispondenza biunivoca fra A e B. In simboli:

f : A ↔ B.

In una funzione biiettiva c’è una corrispondenza “uno a uno” fra gli elementi di A e quelli di B. Ogni elemento di A è l’immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa.

funzione-biettiva

funzione biettiva

Relazione di ordine stretto

Una relazione che gode della proprietà antiriflessiva, transitiva e asimmetrica si dice relazione d’ordine stretto.

Una relazione di ordine stretto può essere rappresentata dai simboli < minore> maggiore e le proprietà di cui gode possono essere rappresentate così:

< (non è minore) a                                             antiriflessiva

se a < b < c  allora a < c                                         transitiva

se a < b  allora b <(non è minore) a                   asimmetrica

Nell’insieme N  la relazione ℜ = ” …<… ” è una relazione di ordine stretto.

Per esempio nell’insieme degli studenti di una classe, la relazione:

“a corre più veloce di b”  è una relazione d’ordine stretto. Infatti è:

  • antiriflessiva (ogni studente non può correre più veloce di se stesso).
  • antisimmetrica (se uno studente corre più veloce di un altro, non può succedere che quest’ultimo corra più veloce del primo.
  • transitiva (se a corre più veloce di b e b corre più veloce di c, allora a corre più veloce anche di c).

L’ordine è largo o stretto a seconda che valga la proprietà riflessiva o quella antiriflessiva.

Relazione di ordine largo

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva si dice relazione di ordine largo.

Una relazione di ordine largo può essere rappresentata da simboli : ≤ (minore o uguale) e ≥ (maggiore o uguale) e le proprietà possono essere rappresentate così:

a ≤ a                                            riflessiva

se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c     transitiva

se a ≤ b e b ≤ a  allora a=b     antisimmetrica

Per esempio in  Q^{+} la relazioni ℜ “… ≥ …” è una relazione di ordine largo. Infatti è riflessiva, transitiva, antisimmetrica.

Un altro esempio di relazione di ordine largo è:

Nell’insieme N dei numeri naturali la relazione ” x è un multiplo di y”. Infatti è:

  • riflessiva (ogni numero è multiplo di se stesso secondo 1);
  • antisimmetrica (presi due numeri diversi x e y, se x è un multiplo di y, allora y non può essere multiplo di x);
  • transitiva(se x è multiplo di y e y è multiplo di z, allora x è multiplo di z; per esempio, se x= 2y e y= 3z,  x=2·3z= 6z).

Relazione di equivalenza e partizione

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione di equivalenza.

Consideriamo l’insieme A:

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insieme

e consideriamo la relazione:

ℜ = “… ha la stessa forma… ”

La relazione ℜ è una relazione di equivalenza in quanto sono verificate le proprietà:

  • riflessiva: ogni figura è in relazione con se stessa;
  • simmetrica: se una figura ha la stessa forma di un’altra, quest’ultima ha la stessa forma della prima;
  • transitiva: se una figura ha la forma di un’altra, e questa la stessa forma di una terza, la prima e la terza figura hanno la stessa forma.
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rappresentazione Eurelo Venn

Questi sottoinsiemi sono detti classi di equivalenza perchè gli elementi della classe sono equivalenti fra loro relativamente alla forma: se si vuole una figura quadrata si può scegliere indifferentemente.

In pratica, la relazione di equivalenza ci permettono di classificare gli oggetti in base a una loro proprietà.

L’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza si chiama insieme quoziente. Dunque l’insieme quoziente è un insieme di sottoinsieme.

La relazione di equivalenza è uno dei tipi di relazione più usato, sia nel vivere quotidiano, sia in matematica

 

Proprietà transitiva degli insiemi

Una relazione ℜ definita in un insieme si dice transitiva quando, considerati tre elementi a, b, c appartenenti all’insieme, se a è in relazione con b e b è in relazione con  c allora anche a è in relazione con c.

Consideriamo l’insieme A:

A= {carota, carciofo, cipolla, fagiolo, patata, pomodoro}

e la relazione:

ℜ =” … inizia con la stessa lettera di…”

possiamo notare che:

cipolla è in relazione con  carota, carota è in relazione con carciofo, cipolla è in relazione con carciofo

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Se un elemento è in relazione con un altro e questo è in relazione con un terzo, allora anche il primo e il terzo elemento sono in relazione tra loro.

Proprietà simmetrica degli insiemi

Una relazione ℜ definita in un insieme è simmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a è in relazione con b allora b è in relazione a.

Consideriamo l’insieme A:

A= {carota, carciofo, cipolla, fagiolo, patata, pomodoro}

ℜ significa essere in relazione

Possiamo applicare la relazione ℜ = “… inizia con la stessa lettera di …”  e osservare che :

carota ℜ carciofo, carciofo  ℜ carota, carciofo ℜ cipolla, cipolla ℜ carciofo, carota ℜ cipolla, cipolla ℜ carota, patata ℜ pomodoro, pomodoro ℜ patata.

La relazione ℜ è simmetrica.

Se un èlemento è in relazione con un secondo, allora anche il secondo è in relazione con il primo.

insiemi

proprietà simmetrica

PROPRIETA’ ANTISIMMETRICA

Una relazione ℜ definita in un insieme è antisimmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a ℜ b accade che b ℜ a solo se a = b.

Per esempio consideriamo la relazione ” a è più giovane di b”. Oltre a godere della proprietà antiriflessiva, essa gode anche di un’altra proprietà: se una persona è più giovane di una seconda, non è mai vero viceversa, cioè che la seconda è più giovane della prima. (relazione antisimmetrica).

Un altro esempio di relazione antisimmetrica può essere in una classe di studenti esiste la seguente relazione: “a precede b nell’elenco alfabetica del registro”

PROPRIETA’ ASIMMETRICA

Una relazione ℜ definita in un insieme è asimmetrica quando, considerati due elementi a e b appartenenti all’insieme, se a ℜ b succede che b  a.

 

Proprietà antiriflessiva

Una relazione ℜ definita in un insieme è antiriflessiva se nessun elemento dell’insieme è in relazione con se stesso.

Non tutte le relazioni sono riflessive; per esempio, la relazione “… è il figlio di …”  non è riflessiva perchè nessuno è figlio di se stesso, quindi si dice che è antiriflessivo.

Un altro esempio può essere la relazione: ” a è più giovane di b”, definita in un insieme di persone. Possiamo affermare che nessuna persona può essere in relazione con se stessa, non potremmo mai dire che una persona è più giovane di se stessa.

Proprietà riflessiva

Una relazione ℜ definita in un insieme è riflessiva se ogni elemento dell’insieme è in relazione con se stesso.

Ogni elemento è in relazione con se stesso, infatti:

carota ℜ carota, carciofo ℜ carciofo, cipolla ℜ cipolla, fagiolo ℜ fagiolo, patata ℜ patata, pomodoro ℜ pomodoro

La relazione ℜ è riflessiva.

Da ogni elemento di A parte una freccia che ritorna all’elemento stesso.

insiemi

proprietà riflessiva

Per esempio in qualunque insieme di persone la relazione: “a ha la stessa età di b” gode della proprietà riflessiva cioè ogni persona ha la stessa età di se stessa. Quindi ogni elemento è in relazione con se stesso.

Relazioni in un insieme

Si dice relazione ℜ in un insieme A la relazione che associa a un elemento di A un altro elemento di A ed è rappresentata da un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x A.

Consideriamo l’insieme A formato dai componenti della famiglia Rossi: la madre Anna, il padre Giovanni, i due figli Luca e Ciro e la nonna paterna Ida, quindi:

C= {Anna, Giovanni, Luca, Ciro, Ida}

La frase”… è figlio di…”che indichiamo con ℜ, mette in relazione i seguenti elementi:  Luca ℜ Anna, Ciro ℜ Anna, Lucaℜ Giovanni, Ciro  ℜ Giovanni, Giovanni ℜ Ida.

Possiamo creare delle coppie ordinate dove sia il primo che il secondo elemento appartengono all’insieme A ottenendo il sottoinsieme B del prodotto cartesiano A x A.

B = {(Luca; Anna), ( Ciro; Anna), ( Luca; Giovanni), (Ciro; Giovanni), (Giovanni; Ida)} ⊂ A x A

insiemi

relazione di un insieme

Corrispondenza biunivoca

Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice biunivoca se associa a ogni elemento di A un solo elemento di B e viceversa, a ogni elemento di B associa un solo elemento di A.

Consideriamo gli insiemi:

A= {Francia, Grecia, Ungheria, Austria}

B = {Parigi, Atene, Budapest, Vienna}

insiemi

corrispondenza biunivoca

A ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B che rappresenta la relazione “…ha per capitale…”.

Invertendo il senso delle frecce otteniamo un’altra corrispondenza: quella da B verso A espressa dalla relazione ” …è la capitale di…”.

Anche in questo caso ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A: la corrispondenza è quindi biunivoca.

Se tra due insiemi possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca, essi hanno lo stesso numero di elementi, cioè sono equipotenti.

Esercizio

Riconosci la corrispondenza biunivoca.

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA