Consideriamo un cerchio di centro O  e raggio r e in esso settori circolari di ampiezza α, 2α, 3α…

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Raddoppiando o triplicando l’ampiezza, ci accorgiamo che anche l’area del settore circolare corrispondente raddoppia o triplica. Se il settore coincide con tutto il cerchio l’angolo al  centro corrispondente diventerà 360°. Quindi le due grandezze, ampiezza dell’angolo al centro α e area del settore circolare A_{{s}} sono direttamente proporzionali. Possiamo costruire una tabella di proporzionalità:

area settore A_{{s}} ampiezza angolo α
A_{{s}} α
2 ·A_{{s}} 2 · α
3 · A_{{s}} 3 · α
…………. ………….
A_{{C}} 360°

da tale tabella si ottiene la seguente proporzione:

A_{{S} : A_{{C} = α : 360°

Poichè  A_{{C} = π · r²  si ottiene:

A_{{S} : π r² = α : 360°

Dalle proporzioni precedenti si ricavano le seguenti formule:

 

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L’area del settore circolare si ottiene dividendo l’area del cerchio a cui appartiene per 360° e moltiplicando il quoziente ottenuto per l’ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in gradi.

Ecco un altro modo per calcolare l’area del settore circolare conoscendo la lunghezza l dell’arco e il raggio r della circonferenza. Dalle proporzioni:

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L’area del settore circolare si ottiene dividendo per 2 il prodotto della lunghezza dell’arco e della misura del raggio della circonferenza.

Vedi gli esercizi

 

Programma geometria terza media