Il massimo comune divisore

 

MASSIMO COMUNE DIVISORE

Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni.

Consideriamo due numeri per esempio 24 e 18 e indichiamo con D_{24}}  e D_{18}} l’insieme dei loro divisori

D_{24}}  =  {  1,2,3,4,6,8,12,24   }                        D_{18}} ={1,2,3,6,9,18 }

Se consideriamo l’intersezione cioè i numeri in comune tra i loro divisori quindi

D_{24}} ∩  D_{18}} =  {1,2,3,6} vedremo che 6 è il maggiore dei divisori in comune quindi è il massimo comune divisore.

Due o più numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è l’unità.

Per esempio 6 e 35 che non sono numeri primi ma in comune come divisore avranno solo 1 quindi sono primi fra loro.

Dati due o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli altri, esso è il M.C.D. dei numeri dati.

Per esempio 6,30 e 60

{1,2,3,6}; {1,2,3,5,6,10,15,30}; {1,2,3,4,5,6,10,15,20,30,60}

Per calcolarlo si usa la scomposizione in fattori primi in cui il M.C.D. fra due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.

 
 

Scomposizione in fattori primi del M.C.D.

Se si hanno numeri più grandi come

360= 2³·3²·5              6300= 2²·3²·5²·7                 126 = 2·3²·7

I fattori comuni sono 2 e 3² quindi il M.C.D. (360, 6300, 126) =2·3²= 18

Come fare la scomposizione in fattori primi

Possiamo enunciare la seguente regola:

Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono in fattori primi e poi si moltiplicano i fattori primi comuni, presi ciascuno una volta sola con il minimo esponente che esso ha nella fattorizzazione.

ESEMPIO

Calcoliamo il M.C.D. di 900, 840, 168

900=2²·3²·5²                  840= 2³·3·5·7                     168=2³·3·7

M.C.D.(900,840,168) =2²·3 =12

Per numeri più piccoli in genere è meglio usare il metodo delle divisioni successive.

 

Programma matematica primo superiore