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Problemi con le frazioni

 

Per calcolare la parte frazionaria p di un numero a si moltiplica la frazione \frac{m}{n}  per il numero a   p= \frac{m}{n} \times a

Per esempio per calcolare i \frac{3}{8}  di 48 =  (48:8)x3 = 6×3= 18

Programma matematica prima media

PROBLEMA 1

La distanza, per autostrada, tra Milano e Firenze è di 300 Km. Sono partito da Milano e ne ho percorso i \frac{7}{10}, arrivando a Bologna. Quanti Km dista Milano da Bologna?

Si farà (300:10) Km = 30 Km ( \frac{1}{10} dell’intero percorso)

(30 x 7) Km= 210 ( \frac{7}{10} dell’ intero percorso, distanza tra Milano e Bologna).

PROBLEMA 2

Un terreno ha la superficie di 840 m² e in esso una cascina occupa i suoi \frac{3}{10}. Quanti metri quadrati di terreno restano liberi?

  • la parte occupata dalla cascina è di 840 x \frac{3}{10} m²=  (840: 10) x 3= 282 m²
  • la parte che resta libera è  di 840- 252 m² =588 m²

PROBLEMA 3

Calcolare i \frac{2}{3} del numero \frac{4}{5}

dividiamo \frac{4}{5} in 3 parti uguali   \frac{4}{5} :3 = \frac{4}{5} x \frac{1}{3} = \frac{4}{15}  cioè (\frac{1}{3} dei \frac{4}{5} )

moltiplichiamo il risultato così ottenuto per 2

\frac{4}{15} x 2 = \frac{8}{15}      (\frac{2}{3} del numero \frac{4}{5} )

Osserviamo che si giunge allo stesso risultato con la moltiplicazione :

\frac{4}{5} x \frac{2}{3} =\frac{8}{15}

Generalizzando possiamo dire che per calcolare la frazione di un numero dato si moltiplica il numero per la frazione

Per calcolare un numero a conoscendo il valore di una sua parte frazionaria p, si divide il valore p di tale parte per la frazione \frac{m}{n}   quindi a = p : \frac{m}{n}

PROBLEMA 4

Ho percorso 165 Km che sono i \frac{3}{4} della distanza tra Roma e Napoli. Quanto dista Roma da Napoli?

Se i \frac{3}{4} del percorso sono 165 Km abbiamo:

(165 : 3) Km = 55 Km  ( lunghezza di \frac{1}{4} del percorso)

(55 x 4) Km = 220 Km (lunghezza dei  \frac{4}{4} del percorso cioè distanza Roma-Napoli).

Allo stesso risultato si giunge con l’operazione

(165: \frac{3}{4}) Km =  ( 165 x \frac{4}{3}) Km = 220 Km

PROBLEMA 5

La tara di una cassetta che contiene 4,8 Kg di frutta è \frac{1}{13} del peso lordo. Quanto pesa la cassetta piena di frutta e quanto pesa vuoto?

RISOLUZIONE

Ricordiamo innanzi tutto che                 peso lordo- tara = peso netto

Osserviamo inoltre che, in questo problema, il peso lordo rappresenta l’intero perciò:

1- \frac{1}{13} = \frac{12}{13}  (frazione corrispondente al peso netto, cioè 4,8 Kg )

Si tratta ora di risolvere un problema fondamentale inverso

(4,8 : \frac{12}{13} ) Kg = ( 4,8 x \frac{13}{12}) Kg = 5,2 Kg  ( peso lordo)

(5,2 x \frac{1}{13}) Kg = 0,4 Kg ( peso della cassetta vuota)

Risposta : la cassetta piena di frutta pesa 5,2 Kg, vuota pesa 0,4 Kg.

PROBLEMA 6

Un tale ha speso prima \frac{1}{3}, poi i \frac{3}{5} della somma che possedeva all’inizio e resta così con € 2800.

Quanto possedeva all’inizio e quanto ha speso ogni volta?

Risoluzione

\frac{1}{3 }+ \frac{3}{5} = \frac{5+9}{15} = \frac{14}{15}  ( frazione corrispondente alla somma spesa)

1- \frac{14}{15} = \frac{1}{15} ( frazione corrispondente alla somma rimasta cioè € 2800).

Si tratta ora di risolvere un problema fondamentale inverso e perciò:

€ ( 2800: \frac{1}{15} ) =  € (2800 x 15) = € 42000 (somma posseduta all’inizio)

Ora si deve risolvere un problema fondamentale diretto.

€ ( 42000 x \frac{1}{3} ) = € 14000 ( somma spesa la prima volta )

€ (42000 x \frac{3}{5} ) = € 25200 ( somma spesa la seconda volta).

RISPOSTA : quel tale possedeva all’inizio € 42000, ha speso € 14000 la prima volta e € 25200 la seconda volta.

PROBLEMA 7

Calcolare un numero sapendo che i suoi \frac{3}{5} sono uguali al numero \frac{2}{7}.

\frac{2}{7} : \frac{3}{5} =\frac{2}{7} x \frac{5}{3} = \frac{10}{21}  ( numero cercato)

PROBLEMA 8

In un’assemblea sono assenti 6 persone cioè i \frac{2}{9}  del totale. Quanti sono i condomini dell’assemblea ?

6:2 =3  numero di condomini corrispondenti a \frac{1}{9}

a=3 x 9 =27 numero totale di condomini.

   
 

PROBLEMA 9

Un debito viene saldato con un acconto di 600 euro, uguale ai \frac{2}{5} del debito stesso, e pagando il resto in 5 rate. Qual è l’ammontare di ogni rata?

  • Il debito complessivo è di 600: \frac{2}{5} = 60 x \frac{5}{2} = (60 : 2)x 5= € 1500
  • Rimangono da versare  € (1500- 600) = € 900
  • L’ammontare di ogni rata sarà  € 900:5= € 180

Per calcolare due numeri conoscendone la somma e sapendo che una è una data frazione dell’altro, si divide tale somma per la somma dei termini della frazione e si moltiplica per il quoziente ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominatore.

PROBLEMA 10

La somma di due numeri è 45 e uno è \frac{4}{5}  dell’altro. Quali sono i due numeri?

Dati

a+b= 45

b= \frac{4}{5}  di a   allora a è l’intero cioè \frac{5}{5}

RISOLUZIONE

in frazione a+b= \frac{4}{5} +  \frac{5}{5}  = \frac{9}{5}  cioè il valore in frazione del totale

quindi  \frac{9}{5}  di 45 = 45: (4 + 5 )  x 5= 45 : 9 x 5 =25

b= 45-25=20

PROBLEMA 11

Calcolare due numeri la cui somma è 120, sapendo che uno è i \frac{3}{5} dell’altro.

Rappresentiamo il numero maggiore con il segmento AB   A-_________B

e il minore con il segmento CD C_______D

CD = \frac{3}{5} di AB

La somma dei due numeri sarà rappresentata dal segmento EF=AB+CD che risulta complessivamente formato da 5+3 parti.

Sapendo che AB+CD = 120 possiamo dire che ciascuna delle 8 parti che forma il segmento EF è uguale a 120:8=15 per cui AB =15 x 5 =75    CD= 15 x 3 =45

PROBLEMA 12

Il signor Paolo e suo fratello hanno vinto € 180 e, per un loro accordo, devono dividerli in modo che al signor Paolo spettino i \frac{7}{5} di quelli che spettano al fratello. Quanto spetta a ciascun fratello?

  • Al signor Paolo spettano € 180 : (7+5) x 7 = 180 : 12 x 7 = € 105
  • Al fratello spettano € 180 : ( 7+ 5) x 5 = 180 : 12 x 5 = € 75

PROBLEMA 13

Tre insegne pubblicitarie sono lunghe in tutto 7,5 m. Se la prima è lunga i \frac{5}{7} della seconda e la terza \frac{1}{5} della lunghezza totale, quanto è lunga ciascuna insegna?

  • La terza insegna è lunga ( 7,5 x \frac{1}{5} )m =  1,5 m
  • Le prime due insegne sono lunghe quindi : (7,5-1,5) m =6 m
  • La prima è lunga     6: ( 5+7) x 5 m =   6:12 x 5 = 2,5 m
  • La seconda è lunga  6: (5+7) x 7  m =6 : 12 x 7 = 3,5 m

Per calcolare due numeri conoscendone la differenza e sapendo che uno è una data frazione dell’altro, si divide tale differenza per la differenza fra i termini della frazione e si moltiplica per il quoziente ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominatore.

PROBLEMA 14

La differenza fra due numeri è 24 e uno è \frac{2}{5} dell’altro. Quali sono i due numeri?

Dati

a-b=24

b= \frac{2}{5} di a  allora a è l’intero cioè  \frac{5}{5}

RISOLUZIONE

in frazione a-b=  \frac{5}{5} –  \frac{2}{5}  = \frac{3}{5} cioè il valore in frazione del totale

quindi i  \frac{3}{5} di 24 = 24:(5-2)x5=40

b=40-24=16

PROBLEMA 15

Calcolare due numeri la cui differenza è 90 e sapendo che uno è i \frac{4}{7} dell’altro.

Rappresentiamo il numero maggiore con il segmento AB      A____________B                                                                   e il minore con il segmento CD   C_________D  che è uguale ai \frac{4}{7} di AB.

La differenza dei due numeri sarà rappresentata dal segmento EF= AB-CD, che risulta formato da 7-4 parti.

Sapendo che AB-CD = 90, possiamo dire che ciascuna delle tre parti che formano il segmento è uguale a 90:3 =30 per cui AB= 30 x 7 = 210    e  CD = 30 x 4 =120

In pratica abbiamo fatto 90 : (7-4) x 7 = 210      e     90 : (7-4) x 4 = 120

PROBLEMA 16

L’altezza di una quercia è i \frac{5}{3} di quella di un pino. Se la quercia è 1,2 m più alta del pino, qual è la rispettiva altezza dei due alberi.

  • L’altezza della quercia è :  [1,2 : (5-3) x 5]m = (1,2 : 2 x 5) = 3 m
  • L’altezza del pino è :[1,2 : (5-3) x 3 ]m = (1.2 :2 x 3 ) = 1,8 m

PROBLEMA 17

A una riunione sindacale partecipano gli impiegati e gli operai di una ditta. Se la differenza fra i due gruppi è di 120 persone e gli impiegati sono i \frac{2}{5} degli operai, quanti sono i dipendenti di quella ditta?

  • Gli impiegati sono :  120 : (5-2) x 2 = 120: 3 x 2= 80
  • Gli operai sono :   120 : (5-2) x 5 = 120: 3 x 5 = 200
  • Complessivamente ci sono : (80 + 200 ) = 280 dipendenti

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