Per calcolare la parte frazionaria p di un numero a si moltiplica la frazione m\n per il numero a p= m\n•a
Per esempio per calcolare i 3\8 di 48 = (48:8)x3 = 6×3= 18
Programma matematica prima media
PROBLEMA 1
La distanza, per autostrada, tra Milano e Firenze è di 300 Km. Sono partito da Milano e ne ho percorso i 7\10, arrivando a Bologna. Quanti Km dista Milano da Bologna?
Si farà (300:10) Km = 30 Km ( 1\10 dell’intero percorso)
(30 x 7) Km= 210 ( 7\10 dell’ intero percorso, distanza tra Milano e Bologna).
PROBLEMA 2
Un terreno ha la superficie di 840 m² e in esso una cascina occupa i suoi 3\10. Quanti metri quadrati di terreno restano liberi?
- la parte occupata dalla cascina è di 840 x 3\10 m²= (840: 10) x 3= 282 m²
- la parte che resta libera è di 840- 252 m² =588 m²
PROBLEMA 3
Calcolare i 2\3 del numero 4\5
dividiamo 4\5 in 3 parti uguali 4\5 :3 = 4\5 x 1\3 = 4\15 cioè (1\3 dei 4\5 )
moltiplichiamo il risultato così ottenuto per 2
4\15 x 2 = 8\15 (2\3 del numero 4\5 )
Osserviamo che si giunge allo stesso risultato con la moltiplicazione :
4\5 x 2\3 =8\15
Generalizzando possiamo dire che per calcolare la frazione di un numero dato si moltiplica il numero per la frazione
Per calcolare un numero a conoscendo il valore di una sua parte frazionaria p, si divide il valore p di tale parte per la frazione m\n quindi a = p : m\n
PROBLEMA 4
Ho percorso 165 Km che sono i 3\4 della distanza tra Roma e Napoli. Quanto dista Roma da Napoli?
Se i 3\4 del percorso sono 165 Km abbiamo:
(165 : 3) Km = 55 Km ( lunghezza di 1\4 del percorso)
(55 x 4) Km = 220 Km (lunghezza dei 4\4 del percorso cioè distanza Roma-Napoli).
Allo stesso risultato si giunge con l’operazione
(165: 3\4) Km = ( 165 x 4\3) Km = 220 Km
PROBLEMA 5
La tara di una cassetta che contiene 4,8 Kg di frutta è 1\3 del peso lordo. Quanto pesa la cassetta piena di frutta e quanto pesa vuoto?
RISOLUZIONE
Ricordiamo innanzi tutto che peso lordo- tara = peso netto
Osserviamo inoltre che, in questo problema, il peso lordo rappresenta l’intero perciò:
1- 1\13 = 12\13 (frazione corrispondente al peso netto, cioè 4,8 Kg )
Si tratta ora di risolvere un problema fondamentale inverso
(4,8 : 12\13 ) Kg = ( 4,8 x 13\12) Kg = 5,2 Kg ( peso lordo)
(5,2 x 1\13) Kg = 0,4 Kg ( peso della cassetta vuota)
Risposta : la cassetta piena di frutta pesa 5,2 Kg, vuota pesa 0,4 Kg.
PROBLEMA 6
Un tale ha speso prima 1\3, poi i 3\5 della somma che possedeva all’inizio e resta così con € 2800.
Quanto possedeva all’inizio e quanto ha speso ogni volta?
Risoluzione
( frazione corrispondente alla somma spesa)
( frazione corrispondente alla somma rimasta cioè € 2800).
Si tratta ora di risolvere un problema fondamentale inverso e perciò:
€ ( 2800: 1\5 ) = € (2800 x 15) = € 42000 (somma posseduta all’inizio)
Ora si deve risolvere un problema fondamentale diretto.
€ ( 42000 x 1\3 ) = € 14000 ( somma spesa la prima volta )
€ (42000 x 3\5 ) = € 25200 ( somma spesa la seconda volta).
RISPOSTA : quel tale possedeva all’inizio € 42000, ha speso € 14000 la prima volta e € 25200 la seconda volta.
PROBLEMA 7
Calcolare un numero sapendo che i suoi 3\5 sono uguali al numero 2\7.
( numero cercato)
PROBLEMA 8
In un’assemblea sono assenti 6 persone cioè i 2\9 del totale. Quanti sono i condomini dell’assemblea ?
6:2 =3 numero di condomini corrispondenti a 1\9
a=3 x 9 =27 numero totale di condomini.
PROBLEMA 9
Un debito viene saldato con un acconto di 600 euro, uguale ai 2\5 del debito stesso, e pagando il resto in 5 rate. Qual è l’ammontare di ogni rata?
- Il debito complessivo è di 600: 2\5 = 60 x 5\2 = (60 : 2)x 5= € 1500
- Rimangono da versare € (1500- 600) = € 900
- L’ammontare di ogni rata sarà € 900:5= € 180
Per calcolare due numeri conoscendone la somma e sapendo che una è una data frazione dell’altro, si divide tale somma per la somma dei termini della frazione e si moltiplica per il quoziente ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominatore.
PROBLEMA 10
La somma di due numeri è 45 e uno è 4\5 dell’altro. Quali sono i due numeri?
Dati
a+b= 45
b= 4\5 di a allora a è l’intero cioè 5\5
RISOLUZIONE
in frazione a+b= 4\5 + 5\5 = 9\5 cioè il valore in frazione del totale
quindi 9\5 di 45 = 45: (4 + 5 ) x 5= 45 : 9 x 5 =25
b= 45-25=20
PROBLEMA 11
Calcolare due numeri la cui somma è 120, sapendo che uno è i 3\5 dell’altro.
Rappresentiamo il numero maggiore con il segmento AB A-_________B
e il minore con il segmento CD C_______D
CD = 3\5 di AB
La somma dei due numeri sarà rappresentata dal segmento EF=AB+CD che risulta complessivamente formato da 5+3 parti.
Sapendo che AB+CD = 120 possiamo dire che ciascuna delle 8 parti che forma il segmento EF è uguale a 120:8=15 per cui AB =15 x 5 =75 CD= 15 x 3 =45
PROBLEMA 12
Il signor Paolo e suo fratello hanno vinto € 180 e, per un loro accordo, devono dividerli in modo che al signor Paolo spettino i 7\5 di quelli che spettano al fratello. Quanto spetta a ciascun fratello?
- Al signor Paolo spettano € 180 : (7+5) x 7 = 180 : 12 x 7 = € 105
- Al fratello spettano € 180 : ( 7+ 5) x 5 = 180 : 12 x 5 = € 75
PROBLEMA 13
Tre insegne pubblicitarie sono lunghe in tutto 7,5 m. Se la prima è lunga i 5\7 della seconda e la terza 1\5 della lunghezza totale, quanto è lunga ciascuna insegna?
- La terza insegna è lunga ( 7,5 x 1\5 )m = 1,5 m
- Le prime due insegne sono lunghe quindi : (7,5-1,5) m =6 m
- La prima è lunga 6: ( 5+7) x 5 m = 6:12 x 5 = 2,5 m
- La seconda è lunga 6: (5+7) x 7 m =6 : 12 x 7 = 3,5 m
Per calcolare due numeri conoscendone la differenza e sapendo che uno è una data frazione dell’altro, si divide tale differenza per la differenza fra i termini della frazione e si moltiplica per il quoziente ottenuto rispettivamente per il numeratore e il denominatore.
PROBLEMA 14
La differenza fra due numeri è 24 e uno è 2\5 dell’altro. Quali sono i due numeri?
Dati
a-b=24
b= 2\5 di a allora a è l’intero cioè 5\5
RISOLUZIONE
in frazione a-b= 5\5 – 2\5 = 3\5 cioè il valore in frazione del totale
quindi i 3\5 di 24 = 24:(5-2)x5=40
b=40-24=16
PROBLEMA 15
Calcolare due numeri la cui differenza è 90 e sapendo che uno è i 4\7 dell’altro.
Rappresentiamo il numero maggiore con il segmento AB A____________B e il minore con il segmento CD C_________D che è uguale ai 4\7 di AB.
La differenza dei due numeri sarà rappresentata dal segmento EF= AB-CD, che risulta formato da 7-4 parti.
Sapendo che AB-CD = 90, possiamo dire che ciascuna delle tre parti che formano il segmento è uguale a 90:3 =30 per cui AB= 30 x 7 = 210 e CD = 30 x 4 =120
In pratica abbiamo fatto 90 : (7-4) x 7 = 210 e 90 : (7-4) x 4 = 120
PROBLEMA 16
L’altezza di una quercia è i 5\3 di quella di un pino. Se la quercia è 1,2 m più alta del pino, qual è la rispettiva altezza dei due alberi.
- L’altezza della quercia è : [1,2 : (5-3) x 5]m = (1,2 : 2 x 5) = 3 m
- L’altezza del pino è :[1,2 : (5-3) x 3 ]m = (1.2 :2 x 3 ) = 1,8 m
PROBLEMA 17
A una riunione sindacale partecipano gli impiegati e gli operai di una ditta. Se la differenza fra i due gruppi è di 120 persone e gli impiegati sono i 2\5 degli operai, quanti sono i dipendenti di quella ditta?
- Gli impiegati sono : 120 : (5-2) x 2 = 120: 3 x 2= 80
- Gli operai sono : 120 : (5-2) x 5 = 120: 3 x 5 = 200
- Complessivamente ci sono : (80 + 200 ) = 280 dipendenti
Programma matematica prima media
