Questi problemi consistono nel dividere un numero in parti proporzionali a più numeri dati : la somma delle parti ottenute deve essere uguale al numero dato. La proporzionalità può essere diretta o inversa per cui si distinguono problemi di RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA E DI RIPARTIZIONE SEMPLICE INVERSA.

Programma matematica seconda media

RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA

PROBLEMA 1

In una villetta abitata da 3 famiglie la spesa per il mantenimento del giardino viene suddivisa in parti direttamente proporzionali al numero di componenti di ogni famiglia: 2, 3, 6. Se la spesa complessiva è stata di 363 euro, quale sarà la quota che dovrà pagare ogni famiglia?

Indicando con x,y,z, la quota di ciascuna famiglia che è direttamente proporzionale al numero di componenti di ogni famiglia si ha:

x: 2 = y : 3 = z : 6

11 = il numero totale dei componenti

Applicando la proprietà del comporre e ricordando che la somma di tutte le quote è 363 euro otteniamo:

363 : 11=x : 2                       363 : 11=y : 3                           363 : 11=z : 6

x =\frac{363\cdot 2}{11}= 66 euro           y =\frac{363\cdot 3}{11} = 99 euro            z= \frac{363\cdot 6}{11} = 198 euro

La somma degli importi calcolati deve essere uguale alla spesa complessiva infatti ( 66 + 99 + 198) = 363 euro.

PROBLEMA 2

Tre soci formano una società versando uno 3600 euro, il secondo 4500 euro e il terzo 6000 euro. Alla fine dell’anno l’utile della società ammonta a 2350 euro. A quanto ammonta il guadagno di ciascun socio?

L’utile dovrà essere ripartito per tutti e tre i soci in proporzione alle quote che hanno versato. Indicando con x,y, z le somme che spettano ai tre soci si ha :

x : 3600=y : 4500=z : 6000

Poichè sappiamo che l’utile totale x +y +z è 2350 euro e il capitale sociale è 3600+ 4500 + 6000 = 14100, applicando la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti abbiamo:

2350 : 14100= x : 3600                          2350 : 14100 = y : 4500                2350 : 14100 = z : 6000

x =\frac{2350 \cdot 3600}{14100}= 600                                  y = \frac{2350 \cdot 4500}{14100}= 750                           z= \frac{2350 \cdot 6000}{14100}= 1000

PROBLEMA 3

Dividi il numero 780 in parti direttamente proporzionali ai numeri 12 e 14.

Indicando con x e y le parti che vogliamo trovare, scriviamo i dati del problema.

x : 12 = y : 14

x + y = 780

Applichiamo la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti all’antecedente in modo da ottenere la somma x + y, che conosciamo.

(x + y) : (12 + 14 ) = x : 12 = y : 14

Sostituendo 780 alla somma x + y otteniamo due proporzioni nelle incognite x e y.

780: 26 = x : 12               780 : 26 = y : 14

Risolviamo le proporzioni per trovare x e y.

x = \frac{780 \cdot12}{26} = 360

y = \frac{780 \cdot14}{26} = 420

 

PROBLEMA N° 4

Suddividi il numero 330 in parti direttamente proporzionali ai numeri 2, 4 e 5.

Indicando le tre parti con x,y e z si ha:

x : 2 = y : 4= z : 5                e     x+y+z = 330

Risolvendo:

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = x : 2

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = y : 4

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = z : 5

sostituendo x + y+ z con 330, si ottiene:

330 : 11 = x : 2                        330 : 11 = y : 4                    330 : 11 = z : 5

x= \frac{330 \cdot2}{11} = 60                          y = \frac{330 \cdot4}{11} = 120                 z = \frac{330 \cdot5}{11} = 150

PROBLEMA 5

Tre operai hanno percepito la somma di 3 000 euro per un lavoro fatto insieme. Se il primo ha lavorato 6 giorni, il secondo 10 giorni e il terzo 9 giorni, quanto spetterà a ciascuno?

Dati                                                                               

x , y, z sono direttamente proporzionali ai numeri 6 , 10, 9

 Incognite

x = somma spettante al primo operaio

y = somma spettante al secondo operaio

z = somma spettante al terzo operaio

Svolgimento

x : 6 = y : 10 = z : 9             e            x + y + z = 3 000

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = x : 6

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = y : 10

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = z : 9

Quindi sostituendo i dati che conosciamo avremo:

3 000 : 25 = x : 6              →               x = \frac{3000 \cdot6}{25} = 720 euro

3 000 : 25 = y : 10            →               y = \frac{3000 \cdot10}{25} = 1 200 euro

3 000 : 25 = z : 9              →               z = \frac{3000 \cdot9}{25} = 1 080 euro

Verifica 

x + y + z = 720 + 1 200 + 1 080 = 3 000