Esercizio
Svolgi le seguenti disequazioni di secondo grado.
1)
<0
2)<0
3)>0
4) – ≥0
5) < +
6)> +
7)(x -1)<
8)1 – + <
9)1 ≤ +
10) – + ≥ 1
SVOLGIMENTO
Esercizio
Svolgi le seguenti disequazioni di secondo grado.
1) <0 C.E.: x² – 5x + 6≠O quindi x≠3 e x≠2
La prima cosa da fare è porre numeratore e denominatore maggiore di zero.
N: 9x² + 2 >0 ⇒ x² >- ma un numero al quadrato è sempre maggiore di un numero negativo quindi la soluzione è per ogni x appartenente a R.
D: x² – 5x + 6 >0 vado a considerare l’equazione associata:
x² – 5x + 6 =0 e mi vado a calcolare le radici.
Δ= b²-4ac= 25 – 24 = 1
x=
= = =3
== = 2
Δ>0 , disequazione >0, allora le soluzioni saranno esterne: x<2 e x>3
Portiamo ora le soluzioni del numeratore e del denominatore sul grafico, facendo attenzione a prendere le soluzioni negative visto che la disequazione fratta di partenza era <0
La soluzione è : 2<x<3
2)<0 C.E. 2x-3≠0 quindi x ≠
Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.
N: x² + 4x -5 > 0
Δ= b²-4ac= 16 + 20 = 36
x=
== = = 1
= = =-=- 5
Δ>0 , disequazione >0, allora le soluzioni saranno esterne: x<-5 e x >1
D: 2x – 3 > 0⇒ x >
Riportiamo le radici trovate per il numeratore e il denominatore prendendo le soluzioni negative visto che la disequazione fratta è minore di zero.
La soluzione è : x<-5 e 1<x<
3)>0
Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.
N: -x² + 2x -4 > 0 ⇒ x² – 2x +4< 0
Δ= b²-4ac= 4 -16 = – 12<0
Δ<0 disequazione <0 allora non esiste x appartenente ad R.
D:x²+8 >0 quindi x²> -8 in questo caso un numero positivo come il quadrato deve essere per forza maggiore di un numero negativo, quindi il risultato è per ogni x ∈R.
In questo caso la disequazione fratta non ha soluzioni perchè se andiamo a porre le radici del numeratore e del denominatore sul grafico, notiamo che non c’è mai una zona positiva, infatti:
4) – ≥0 C.E. x+4≠0 quindi x ≠-4
≥0
≥0
≥0 ⇒ ≥0
A questo punto poniamo numeratore e denominatore maggiore e uguale a zero.
N: -x² +2x +10 ≥0 ⇒ x²-2x -10≤ 0 considero l’equazione associata.
x²-2x -10=0 calcolo il = 1+10 = 11.
= 1 +
=1 –
Δ>0 , disequazione ≤0 , le soluzioni saranno interne, quindi: 1 – ≤x≤1 +
D: 2(x +4) ≥0 ⇒ x ≥ -4
Riportiamo le radici trovate sul grafico.
Poichè la disequazione iniziale è ≥0, prenderemo le soluzioni positive e cioè: x< -4 e 1 – ≤x≤1 +
Al 4 non è anche uguale per la condizione di esistenza.
5) < + C.E. 2x(x-3)≠0 quindi x ≠0 e x ≠3
– – < 0 facciamo il m.c.m. che è 2x(x-3)
< 0
< 0 ⇒ < 0 andiamo a porre numeratore e denominatore maggiore di zero
N: -x² – 2x + 1 > 0 ⇒ x² + 2x – 1 < 0
= -1 +1=0
Δ=0 , disequazione <0 , non esiste x ∈ R
D: 2x(x-3) > 0
abbiamo 2x > 0 e x-3> 0 quindi x > 0 e x>3 in questo caso il Δ è >0, la disequazione> 0, allora le soluzioni sono esterne e cioè: x<0 e x>3.
Portiamo le soluzioni del numeratore e del denominatore sul grafico e otteniamo:
La disequazione fratta iniziale è negativa quindi prenderemo i risultati negativi: x<0 e x>3.
6)> + C.E.: x-1≠0; x+1 ≠0 quindi x≠±1
+ – – >0
>0
> 0
> 0
N: -x² +1 > 0 ⇒ x² -1 < 0 considero l’equazione associata quindi: x²=1 ⇒ x= ± 1 e poichè la disequazione è minore di zero e il delta minore di zero si prendono le soluzioni interne. Quindi : -1<x<1
D: (x-1)(x+1)> 0 quindi le soluzioni sono x= ± 1 , ma in questo caso le soluzioni sono esterne perchè il delta è maggiore di zero e la disequazione è maggiore di zero. Quindi x<-1 e x>1.
Riporto i risultati del numeratore e del denominatore sul grafico:
Poichè le soluzioni sono tutte negative e la disequazione fratta iniziale è maggiore di zero, allora non ci sono soluzioni.
7)(x -1)< C.E.: x-1 ≠0 quindi x ≠1
(x -1)() – < 0 semplifichiamo e otteniamo:
x -4 – < 0 a questo punto cambiamo i segni del denominatore
x – 4 + < 0 facciamo il m.c.m.
< 0 ⇒ < 0 ⇒ < 0
Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero:
N: -.5x + 10 > 0 ⇒ 5x – 10 < 0 quindi x < cioè x <2
D: x-1 > 0 ⇒ x >1
Riporto i risultati del numeratore e del denominatore sul grafico:
Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: x<1 e x>2
8)1 – + < C.E. x+2 ≠0 quindi x≠-2
Pima di tutto scomponiamo 2x² +8x + 8 = 2(x² +4x + 4 )= 2(x+2)²
< 0
< 0
< 0
< 0 Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.
N: 10x> 0 ⇒ x> 0
D: 2(x+2)²> 0 per ogni x ∈ R perchè un quadrato è sempre maggiore di zero.
Riportiamo i valori trovati su un grafico e otteniamo:
Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: x<0.
9)1 ≤ + C.E. : x+2 ≠0 e x-1≠0 quindi x ≠-2 e x≠ 1
1 – – ≤ 0
≤ 0
≤ 0
≤ 0 ⇒ ≤ 0
Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.
N: 3x² – 15x ≥ 0 ⇒ 3x(x – 5) ≥ 0 quindi considerando l’equazione associata otteniamo x=0 e x =5. Possiamo metterli sul grafico, oppure se consideriamo che il delta è maggiore di zero e la disequazione è maggiore di zero allora le soluzioni sono esterne. Quindi: x≤0 e x≥ 0
D: 3(x -1)(x +2)> 0 abbiamo che x>1 e x >-2 tali valori li portiamo sul grafico per capire quali sono le soluzioni del denominatore.
Le soluzioni sono x<-2 e x>1.
A questo punto possiamo mettere le soluzioni di numeratore e denominatore sul grafico finale e otteniamo:
Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: -2<x≤0 e 1<x≤5
10) – + ≥ 1 C.E: x≠0
– + – 1 ≥ 0
≥ 0
≥ 0 ⇒ ≥ 0 ≥ 0 semplifichiamo
Quindi avremo solo x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥1
