Esercizi disequazioni fratte di secondo grado

 

Esercizio

Svolgi le seguenti equazioni di secondo grado.

1)\frac{9x ^{2}+2}{x ^{2}-5x +6} <0

2)\frac{x ^{2}+4x-5}{2x-3}<0

3)\frac{-x ^{2}+2x-4}{x ^{2}+8}>0

4)\frac{x-3}{x+4} – \frac{x-4}{2}≥0

5)\frac{x ^{2}-7}{2x ^{2}-6x} <\frac{1}{x} + \frac{x-1}{x-3}

6)\frac{1}{x ^{2}-1} ^{}+\frac{1}{2x+2}>\frac{1}{6} + \frac{1}{2x-2}

7)(x -1)(1 -\frac{3}{x-1})\frac{6-x ^{2}}{1-x}

8)1 – \frac{x}{2x + 4} + \frac{x}{x+2}\frac{3x ^{2}+8}{2x^{2}+8x+8}

9)1 ≤\frac{14}{3(x+2)} + \frac{4}{3x-3}

10)\frac{3x+1}{3} – \frac{ x^{2}-1}{4x} + \frac{(x+2)(x-3)}{12x} ≥ 1

SVOLGIMENTO

Esercizio

Svolgi le seguenti equazioni di secondo grado.

1)\frac{9x ^{2}+2}{x ^{2}-5x +6} <0              C.E.: x² – 5x + 6≠O  quindi x≠3 e x≠2

La prima cosa da fare è porre numeratore e denominatore maggiore di zero.

N: 9x² + 2 >0 ⇒  x² >- \frac{2}{9}  ma un numero al quadrato è sempre maggiore di un numero negativo quindi la soluzione è per ogni x appartenente a R.

D: x² – 5x + 6 >0  vado a considerare l’equazione associata:

x² – 5x + 6 =0 e mi vado a calcolare le radici.

Δ= b²-4ac= 25 – 24 = 1

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

x_{{1}}=\frac{+5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} =3

x_{{2}}=\frac{+5-\sqrt{1}}{2}\frac{4}{2}= 2

Δ>0 , disequazione >0, allora le soluzioni saranno esterne: x<2 e x>3

Portiamo ora le soluzioni del numeratore e del denominatore sul grafico, facendo attenzione a prendere le soluzioni negative visto che la disequazione fratta di partenza era <0

La soluzione è :  2<x<3

 

2)\frac{x ^{2}+4x-5}{2x-3}<0                 C.E.    2x-3≠0 quindi x ≠\frac{3}{2}

Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.

N: x² + 4x -5 > 0

Δ= b²-4ac= 16 + 20 = 36

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

x_{{1}}=\frac{-4 + \sqrt{36}}{2}\frac{-4+6}{2}\frac{2}{2}= 1

x_{{2}}\frac{-4 - \sqrt{36}}{2}\frac{-4-6}{2} =-\frac{10}{2}=- 5

Δ>0 , disequazione >0, allora le soluzioni saranno esterne: x<-5 e x >1

D: 2x – 3  > 0⇒ x >\frac{3}{2}

Riportiamo le radici trovate per il numeratore e il denominatore prendendo le soluzioni negative visto che la disequazione fratta è minore di zero.

La soluzione è : x<-5 e 1<x<\frac{3}{2}

3)\frac{-x ^{2}+2x-4}{x ^{2}+8}>0       

Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.

N: -x² + 2x -4 > 0 ⇒ x² – 2x +4< 0 

Δ= b²-4ac= 4 -16 = – 12<0

Δ<0 disequazione <0 allora non esiste x appartenente ad R.

D:x²+8 >0 quindi x²> -8 in questo caso un numero positivo come il quadrato deve essere per forza maggiore di un numero negativo, quindi il risultato è per ogni x ∈R.

In questo caso la disequazione fratta non ha soluzioni perchè se andiamo a porre le radici del numeratore e del denominatore sul grafico, notiamo che non c’è mai una zona positiva, infatti:

 

4)\frac{x-3}{x+4} – \frac{x-4}{2}≥0     C.E. x+4≠0 quindi x ≠-4

\frac{2x - 6 -(x+4)(x-4)}{2(x+4)} ≥0

\frac{2x - 6 -(x ^{2}-16)}{2(x+4)}≥0

\frac{2x - 6 -x ^{2}+16}{2(x+4)} ≥0   ⇒ \frac{ -x ^{2}+2x+10}{2(x+4)} ≥0

A questo punto poniamo numeratore e denominatore maggiore e uguale a zero.

N: -x² +2x +10 ≥0  ⇒ x²-2x -10≤ 0 considero l’equazione associata.

x²-2x -10=0  calcolo il \frac{\Delta }{4} = 1+10 = 11.

x_{{1}}= 1 + \sqrt{11}

x_{{2}}=1 – \sqrt{11}

Δ>0 , disequazione ≤0 , le soluzioni saranno interne, quindi: 1 – \sqrt{11}≤x≤1 + \sqrt{11}

D: 2(x +4)  ≥0 ⇒ x ≥ -4

Riportiamo le radici trovate sul grafico.

Poichè la disequazione iniziale è ≥0, prenderemo le soluzioni positive e cioè: x< -4 e 1 – \sqrt{11}≤x≤1 + \sqrt{11}

Al 4 non è anche uguale per la condizione di esistenza.

5)\frac{x ^{2}-7}{2x ^{2}-6x} <\frac{1}{x} + \frac{x-1}{x-3}          C.E. 2x(x-3)≠0  quindi x ≠0 e x ≠3

\frac{x ^{2}-7}{2x (x-3)}\frac{1}{x} – \frac{x-1}{x-3} < 0 facciamo il m.c.m. che è 2x(x-3)

\frac{x ^{2}-7-2(x-3)-2x(x-1)}{2x (x-3)} < 0

\frac{x ^{2}-7-2x +6-2x ^{2}+2}{2x (x-3)} < 0 ⇒  \frac{- x ^{2}-2x +1}{2x (x-3)} < 0  andiamo a porre numeratore e denominatore maggiore di zero

N: -x² – 2x + 1 > 0  ⇒ x² + 2x – 1 < 0

\frac{\Delta }{4} = -1 +1=0

Δ=0 , disequazione <0 , non esiste x ∈ R

D: 2x(x-3) > 0

abbiamo 2x > 0  e x-3> 0  quindi x > 0 e x>3  in questo caso il Δ è >0, la disequazione> 0, allora le soluzioni sono esterne e cioè:  x<0 e x>3.

Portiamo le soluzioni del numeratore e del denominatore sul grafico e otteniamo:

La disequazione fratta iniziale è negativa quindi prenderemo i risultati negativi: x<0 e x>3.

 

6)\frac{1}{x ^{2}-1} ^{}+\frac{1}{2x+2}>\frac{1}{6} + \frac{1}{2x-2}         C.E.: x-1≠0; x+1 ≠0 quindi x≠±1

\frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{2(x+1)} – \frac{1}{6} – \frac{1}{2x-2} >0

\frac{6 +3(x-1) -(x-1)(x+1)-3(x+1)}{6(x-1)(x+1)}   >0

\frac{6 +3x -3-x ^{2}+1 -3x -3}{6(x-1)(x+1)} > 0

\frac{-x^{2}+1}{6(x-1)(x+1)} > 0

N: -x² +1 > 0 ⇒ x² -1 < 0 considero l’equazione associata quindi: x²=1 ⇒ x= ± 1 e poichè la disequazione è minore di zero e il delta minore di zero si prendono le soluzioni interne. Quindi : -1<x<1

D: (x-1)(x+1)> 0  quindi le soluzioni sono x= ± 1 , ma in questo caso le soluzioni sono esterne perchè il delta è maggiore di zero e la disequazione è maggiore di zero. Quindi x<-1 e x>1.

Riporto i risultati del numeratore e del denominatore sul grafico:

 

Poichè le soluzioni sono tutte negative e la disequazione fratta iniziale è maggiore di zero, allora non ci sono soluzioni.

7)(x -1)(1 -\frac{3}{x-1})\frac{6-x ^{2}}{1-x}   C.E.: x-1 ≠0 quindi x ≠1

(x -1)(\frac{x -1-3}{x-1}) – \frac{6-x ^{2}}{1-x}< 0  semplifichiamo e otteniamo:

x -4 – \frac{6-x ^{2}}{1-x}< 0 a questo punto cambiamo i segni del denominatore

x – 4 + \frac{6 - x ^{2}}{x - 1}< 0  facciamo il m.c.m.

\frac{(x -4)(x -1)+6 - x ^{2}}{x - 1}< 0  ⇒ \frac{x ^{2}-x-4x+4+6 - x ^{2}}{x - 1}< 0  ⇒ \frac{-5x+10}{x - 1}< 0

Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero:

N: -.5x + 10 > 0 ⇒ 5x – 10 < 0 quindi x < \frac{10}{5} cioè x <2

D: x-1 > 0 ⇒ x >1

Riporto i risultati del numeratore e del denominatore sul grafico:

Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: x<1 e x>2

8)1 – \frac{x}{2x + 4} + \frac{x}{x+2}\frac{3x ^{2}+8}{2x^{2}+8x+8}    C.E. x+2 ≠0 quindi x≠-2

Pima di tutto scomponiamo 2x² +8x + 8 = 2(x² +4x + 4 )= 2(x+2)²

1 - \frac{x}{2(x+2)}+\frac{x}{x+2} -\frac{3x ^{2}+8}{2(x+2)^{2}} < 0

\frac{2x ^{2}+8x+8-x(x+2)+2x(x+2)-(3x ^{2}+8)}{2(x+2)^{2}}< 0

\frac{2x ^{2}+8x+8-x ^{2}-2x+2x^{2}+4x-3x ^{2}-8}{2(x+2)^{2}}< 0

\frac{10x}{2(x+2) ^{2}}< 0  Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.

N: 10x> 0  ⇒ x> 0

D: 2(x+2)²> 0 per ogni x ∈ R  perchè un quadrato è sempre maggiore di zero.

Riportiamo i valori trovati su un grafico e otteniamo:

Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: x<0.

9)1 ≤\frac{14}{3(x+2)} + \frac{4}{3x-3}          C.E. :  x+2 ≠0 e x-1≠0  quindi x ≠-2 e x≠ 1

1 – \frac{14}{3(x+2)} – \frac{4}{3(x-1)} ≤ 0

\frac{3(x-1)(x+2)-14(x-1)-4(x+2)}{3(x-1)(x+2)}≤ 0

\frac{3(x ^{2}-x+2x-2)-14x+14-4x-8}{3(x-1)(x+2)}  ≤ 0

\frac{3x ^{2}-3x+6x-6-14x+14-4x-8}{3(x-1)(x+2)} ≤ 0  ⇒ \frac{3x ^{2}-15x}{3(x-1)(x+2)}≤ 0

Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.

N: 3x² – 15x ≥ 0 ⇒ 3x(x – 5) ≥ 0  quindi considerando l’equazione associata otteniamo x=0 e x =5. Possiamo metterli sul grafico, oppure se consideriamo che il delta è maggiore di zero e la disequazione è maggiore di zero allora le soluzioni sono esterne. Quindi: x≤0 e x≥ 0 

D: 3(x -1)(x +2)> 0 abbiamo che x>1 e x >-2  tali valori li portiamo sul grafico per capire quali sono le soluzioni del denominatore.

Le soluzioni sono x<-2 e x>1.

A questo punto possiamo mettere le soluzioni di numeratore e denominatore sul grafico finale e otteniamo:

Poichè la disequazione fratta iniziale è minore di zero, prenderemo i risultati negativi, quindi: -2<x≤0 e 1<x≤5

10)\frac{3x+1}{3} – \frac{ x^{2}-1}{4x} + \frac{(x+2)(x-3)}{12x} ≥ 1   C.E: x≠0

\frac{3x+1}{3} – \frac{ x^{2}-1}{4x} + \frac{(x+2)(x-3)}{12x} – 1 ≥ 0

\frac{4x(3x +1)-3(x^{2}-1)+(x+1)(x-3)-12x}{12x} {}≥ 0

\frac{12x^{2}+4x -3x^{2}+3 +x^{2}-3x+x-3-12x}{12x} ≥ 0 ⇒  \frac{10x^{2}-10x}{12x} ≥ 0  \frac{10x(x - 1)}{12x} ≥ 0 semplifichiamo \frac{5(x - 1)}{6}

Quindi avremo solo x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥1

 

Programma di matematica secondo superiore