Esercizi disequazioni secondo grado valore assoluto

 

Esercizi sulle disequazioni con valore assoluto

Svolgi le seguenti disequazioni.

1)|1 – x²| – x < x – 2                  

2)|x² -3x +2| > 2                     

3)x – |-x² + 2x| <3x -9   

4)\frac{x ^{2}-2x}{\left \| x-1|} ≤0                      

5)\frac{x+2}{4x ^{2}-1} + \frac{1}{\left \| 2x|+1} ≥ 0 

SVOLGIMENTO

1)|1 – x²| – x < x – 2         

Andiamo a studiare il segno dell’espressione che c’è all’interno del valore assoluto.

1 – x²≥ 0  quindi x²≤1 . Considerando l’equazione associata otteniamo x=±1 quindi poichè la disequazione è minore di zero e il delta maggiore di zero, le soluzioni saranno interne quindi: -1≤x≤1.

Quindi l’espressione del valore assoluto è positiva per  -1≤x≤1. e negativa per x<-1 e x>1.

A questo punto consideriamo i due sistemi che otteniamo:

La nostra disequazione  non ha soluzioni.

 

 2)|x² -3x +2| > 2 studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto

   x² -3x +2>0

x= \frac{+3\mp\sqrt{9-8}}{2}

x_{{1}}=\frac{+3+1}{2} = 2 e x_{{2}}= \frac{+3-1}{2} = 1

delta maggiore di zero, disequazione maggiore di zero, soluzioni esterne, quindi: x≤1 e x≥ 2  . Quest’ultimo è l’intervallo positivo, invece 1<x<2 è l’intervallo negativo.  

 

A questo punto facciamo due sistemi, uno con le soluzioni dell’intervallo positivo e uno con quelle dell’intervallo negativo.

La disequazione iniziale non ha soluzioni.

3)x – |-x² + 2x| <3x -9   studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto

-x² + 2x≥0 ⇒ x² – 2x≤0 ⇒ x(x-2)≤0  quindi considerando l’equazione associata abbiamo che x=0 e x=2.

Poichè il delta è maggiore di zero e la disequazione è minore di zero allora le soluzioni saranno interne 0≤x≤2. Quest’ultimo è l’intervallo positivo, invece l’intervallo negativo e a x<0 e x>0

A questo punto facciamo due sistemi, uno con le soluzioni dell’intervallo positivo e uno con quelle dell’intervallo negativo.

La soluzione della disequazione è x<-3 e x>3.

 

4)\frac{x ^{2}-2x}{\left \| x-1|} ≤0  studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto

x-1>0 quindi x >1 sarà l’intervallo positivo e x <1 l’intervallo negativo. Lo possiamo vedere anche graficamente.

 

La disequazione iniziale ha come soluzione l’unione dei risultati di entrambe i sistemi, quindi  0≤x≤2 con x≠1.

5)\frac{x+2}{4x ^{2}-1} + \frac{1}{\left \| 2x|+1} ≥ 0 studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto

2x>0 quindi x >0 che è l’intervallo positivo, mentre x<0 è l’intervallo negativo.

La soluzione della nostra disequazione con valore assoluto sarà data dall’unione tra x>\frac{1}{2} e x>-\frac{1}{2}.

 

Programma matematica secondo superiore