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Le disequazioni irrazionali

 

Le disequazioni irrazionali contengono l’incognita sotto il segno di radice. Queste, come le equazioni irrazionali, si svolgono eliminando la radice con l’uso dell’elevamento a potenza.

Se l’indice è dispari, non bisogna porre alcuna condizione, quindi le soluzioni che si ottengono sono tutte accettabili. Se invece l’indice della radice è pari, bisogna fare la condizione di esistenza dei radicandi.

Consideriamo le varie situazioni che si possono venire a creare:

1° Situazione

\sqrt{A(x)}\gt \sqrt{B(x)} oppure \sqrt{A(x)}\lt \sqrt{B(x)}

A(x) e B(x) sono polinomi nell’incognita x.

Per la condizione di esistenza deve essere A(x)≥0  e B(x)≥0

A questo punto per risolvere la disequazione si elevano a quadrato entrambe i membri e si verifica se le soluzioni sono compatibili con la condizione di accettabilità.

Esempio:

\sqrt{x}\lt \sqrt{2x-1}

La soluzione della disequazione è quindi x >1.

 

2° Situazione

\sqrt{A(x)}\gt B(x)

Prima di tutto per l’esistenza della radice quadrata si deve porre il radicando, cioè A(x)≥ 0. A questo punto abbiamo due possibilità, perchè B(x) può essere sia positivo che negativo. Quindi esaminiamo i due casi: B(x)≥ 0 e B(x)<0.

Se B(x)<0 ed è soddisfatta la condizione A(x)≥ 0, allora la disequazione è verificata ed è equivalente al sistema:

Se B(x)≥ 0, possiamo elevare al quadrato entrambe i membri della disequazione, ottenendo:

Quindi possiamo dire che l’insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è dato dall’unione dell’insieme delle soluzione dei due sistemi quindi:

Facciamo un esempio: 

\sqrt{x+1}\gt  x -1

A questo punto dobbiamo risolvere i due sistemi:

 

         -1≤x< 1                                                      1≤ x < 3   

La disequazione iniziale è verificata dall’unione degli intervalli trovati , che alla fine sarà -1≤x<3.

 

3° Situazione

\sqrt{A(x)}\lt B(x)

Poichè la radice è sempre positiva, per essere più piccola di B(x), vorrà dire che bisogna porre B(x)>0, oltre alla condizione di esistenza A(x)≥0.

Se le due condizioni sono verificate, quindi entrambe non saranno negative, possiamo elevare entrambe i membri al quadrato. Quindi una disequazione di questo tipo si risolverà con un solo sistema:

Facciamo un esempio:

  \sqrt{ x^{2}+2} <x+1 

A questo punto risolviamo il sistema:

La soluzione del sistema e quindi della disequazione è x>\frac{1}{2}.

 

Programma matematica secondo superiore

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