Esercizi sul calcolo della probabilità
Esercizio n° 1
Calcola la probabilità di ciascun evento.
Data un’urna contenente 10 palline uguali, numerate da 1 a 100, calcola la probabilità:
a) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 6.
I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 7, 8, 9, 10, quindi sono 4.
I casi possibili sono 10, quindi:
P(E) = 4\10 = 2\5 sotto forma di numero decimale si ottiene:
P(E) = 2: 5 = 0,4 e sotto forma di percentuale:
P(E) = 0,4 · 100 = 40%
b) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 10.
Non ci sono casi favorevoli:
P(E) = 0 l’evento è impossibile
c) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero minore di 11.
I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, quindi sono 10, come i casi possibili.
P(E) = 10\10 = 1 è un evento certo
d) di estrarre un multiplo di 3.
I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 3, 6, 9, quindi sono 3.
P(E) = 3\10 = 0,3 = 30%
Esercizio n° 2
Nel gioco della tombola sono già usciti i numeri 12 e 21, calcola la probabilità che nella terza estrazione si verifichi uno dei seguenti eventi.
a) Esca il numero 40.
I casi favorevoli sono 1, i casi possibili sono (90 – 2) = 88 perchè a 90 abbiamo tolti i numeri che già sono usciti, quindi la probabilità è:
P(E) = 1\88
b) Esca un numero minore di 30.
Poichè i due numeri già estratti sono entrambi minori di 30, i casi favorevoli sono:
(29-2) = 27, quindi:
P(E)= 27\88
Esercizio n° 3
Lanciando in aria 2 monete qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?
I 4 casi possibili sono: Testa-Testa; Testa- Croce; Croce- Testa; Croce – Croce
I casi favorevoli ovviamente sono 2 e cioè Testa – Croce e Croce- Testa. Quindi la probabilità sarà pari a 2\4 = 1\2
Esercizio n° 4
Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola uno dopo l’altro. Qual è la probabilità P che i tre cioccolatini estratti siano al latte?
La probabilità che il primo cioccolatino sia al latte è pari a 8\12=2\3. Dopo la prima estrazione, nella scatola sono rimasti 11 cioccolatini di cui 7 al latte e quindi la probabilità che la seconda estrazione dia come risultato un cioccolatino al latte (supposto al latte il primo estratto) è pari a 7\11. Allo stesso modo, dopo la seconda estrazione sono rimasti 10 cioccolatini di cui 6 al latte; pertanto la probabilità che il terzo cioccolatino estratto sia al latte è pari a 6\10 = 3\5.
Per il teorema delle probabilità composte, la probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi; le tre estrazioni costituiscono eventi indipendenti, che devono avvenire contemporaneamente e quindi la probabilità richiesta è pari a:
Esercizio n° 5
Un’urna contiene 10 palline: 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probabilità che estraendo due palline dall’urna queste siano rosse?
La probabilità che la prima pallina esca rossa è pari a 6\10. Dopo l’estrazione, le palline sono diventate 9 e la probabilità che anche la seconda sia rossa è 5\9. Quindi la probabilità totale è 6\10 · 5\9 = 1\3.
Esercizio n° 6
Qual è la probabilità che, lanciando due dadi da gioco tradizionali, la somma delle facce sia uguale a 3?
La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili. Si tratta quindi di valutare quanti sono i casi favorevoli, sapendo che i casi possibili sono 36 = 6 · 6. I casi possibili sono due e cioè : 1 + 2 e 2 + 1.
La probabilità dell’evento è P = 2\36=1\18
Esercizio n° 7
Considera il lancio di un dado e riconosci quali coppie di eventi sono incompatibili e quali compatibili.
a) E(1): Uscita di un numero pari
E(2): Uscita di un multiplo di 5
Poichè l’unico multiplo di 5 che si può ottenere è 5 stesso, che non è un numero pari, il verificarsi di un evento esclude l’altro, quindi i due eventi sono incompatibili.
b) E(1): Uscita di un multiplo di 2
E(2): Uscita di un multiplo di 3
I multipli di 2 che si possono ottenere sono: 2, 4, 6.
I multipli di 3 che si possono ottenere sono : 3 e 6.
Poichè l’uscita del numero 6 è comune ai due eventi, il verificarsi di E(1) non esclude il verificarsi di E(2), quindi i due eventi sono compatibili.
Esercizio n°8
Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi incompatibili.
Calcola la probabilità dell’evento E: uscita del numero 5 o di un numero pari nel lancio di un dado.
Svolgimento
Gli eventi parziali sono:
E(1) : uscita del un numero 5
P(E(1) )= 1\6
E(2): uscita di un numero pari
P(E(2)) = 3\6
I due eventi sono incompatibili, quindi:
Esercizio n° 9
Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi compatibili.
Calcola la probabilità dell’evento E: estrarre una rosa o un fiore rosso da un mazzo di fiori formato da 5 rose rosse, 6 rose gialle, 4 garofani rossi e 4 garofani bianchi.
Svolgimento
Gli eventi parziali sono:
E(1): estrazione di una rosa
E(2): estrazione di un fiore rosso
I due eventi sono compatibili: è possibile estrarre una rosa rossa.
Le rose sono (5 + 6) = 11
I fiori rossi sono (5 + 4) = 9
I fiori sono in tutto (5+ 6+ 4+ 4) = 19
P(E1)= 11\19 P(E2) = 9\19
Indicato con l’evento: estrazione di una rosa rossa, si ottiene:
P(E3) = 5\19 per cui:
Dobbiamo togliere perchè la probabilità di estrarre una rosa rossa già è presente nella probabilità di estrarre un fiore rosso.
