Esercizi sul calcolo della probabilità

Esercizio n° 1

Calcola la probabilità di ciascun evento.

Data un’urna contenente 10 palline uguali, numerate da 1 a 100, calcola la probabilità:

a) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 6.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 7, 8, 9, 10, quindi sono 4.

I casi possibili sono 10, quindi:

P(E) = $\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{5}$ sotto forma di numero decimale si ottiene:

P(E) = 2: 5 = 0,4 e sotto forma di percentuale:

P(E) = 0,4 · 100 = 40%

b) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 10.

Non ci sono casi favorevoli:

P(E) = 0 l’evento è impossibile

c) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero minore di 11.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, quindi sono 10, come i casi possibili.

P(E) = $\frac{10}{10}$ = 1 è un evento certo

d) di estrarre un multiplo di 3.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 3, 6, 9, quindi sono 3.

P(E) = $\frac{3}{10}$ = 0,3 = 30%

Esercizio n° 2

Nel gioco della tombola sono già usciti i numeri 12 e 21, calcola la probabilità che nella terza estrazione si verifichi uno dei seguenti eventi.

a) Esca il numero 40.

I casi favorevoli sono 1, i casi possibili sono (90 – 2) = 88 perchè a 90 abbiamo tolti i numeri che già sono usciti, quindi la probabilità è:

P(E) = $\frac{1}{88}$

b) Esca un numero minore di 30.

Poichè i due numeri già estratti sono entrambi minori di 30, i casi favorevoli sono:

(29-2) = 27, quindi:

P(E)= $\frac{27}{88}$

Esercizio n° 3

Lanciando in aria 2 monete qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

I 4 casi possibili sono: Testa-Testa; Testa- Croce; Croce- Testa; Croce – Croce

I casi favorevoli ovviamente sono 2 e cioè Testa – Croce e Croce- Testa. Quindi la probabilità sarà pari a $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Esercizio n° 4

Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola uno dopo l’altro. Qual è la probabilità P che i tre cioccolatini estratti siano al latte?

La probabilità che il primo cioccolatino sia al latte è pari a $\frac{8}{12}= \frac{2}{3}$ . Dopo la prima estrazione, nella scatola sono rimasti 11 cioccolatini di cui 7 al latte e quindi la probabilità che la seconda estrazione dia come risultato un cioccolatino al latte (supposto al latte il primo estratto) è pari a $\frac{7}{11}$ . Allo stesso modo, dopo la seconda estrazione sono rimasti 10 cioccolatini di cui 6 al latte; pertanto la probabilità che il terzo cioccolatino estratto sia al latte è pari a $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$ .

Per il teorema delle probabilità composte, la probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi; le tre estrazioni costituiscono eventi indipendenti, che devono avvenire contemporaneamente e quindi la probabilità richiesta è pari a:

P = $\frac{2}{3}$ · $\frac{7}{11}$ . $\frac{3}{5}$ = $\frac{14}{55}$

Esercizio n° 5

Un’urna contiene 10 palline: 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probabilità che estraendo due palline dall’urna queste siano rosse?

La probabilità che la prima pallina esca rossa è pari a $\frac{6}{10}$ . Dopo l’estrazione, le palline sono diventate 9 e la probabilità che anche la seconda sia rossa è $\frac{5}{9}$ . Quindi la probabilità totale è $\frac{6}{10}$ · $\frac{5}{9}$ = $\frac{1}{3}$ .

Esercizio n° 6

Qual è la probabilità che, lanciando due dadi da gioco tradizionali, la somma delle facce sia uguale a 3?

La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili. Si tratta quindi di valutare quanti sono i casi favorevoli, sapendo che i casi possibili sono 36 = 6 · 6. I casi possibili sono due e cioè : 1 + 2 e 2 + 1.

La probabilità dell’evento è P = $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Esercizio n° 7

Considera il lancio di un dado e riconosci quali coppie di eventi sono incompatibili e quali compatibili.

a) $E_{{1}}$ : Uscita di un numero pari

$E_{{2}}$ : Uscita di un multiplo di 5

Poichè l’unico multiplo di 5 che si può ottenere è 5 stesso, che non è un numero pari, il verificarsi di un evento esclude l’altro, quindi i due eventi sono incompatibili.

b) $E_{{1}}$ : Uscita di un multiplo di 2

$E_{{2}}$ : Uscita di un multiplo di 3

I multipli di 2 che si possono ottenere sono: 2, 4, 6.

I multipli di 3 che si possono ottenere sono : 3 e 6.

Poichè l’uscita del numero 6 è comune ai due eventi, il verificarsi di $E_{{1}}$ non esclude il verificarsi di $E_{{2}}$ , quindi i due eventi sono compatibili.

Esercizio n°8

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi incompatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: uscita del numero 5 o di un numero pari nel lancio di un dado.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

$E_{{1}}$ : uscita del un numero 5

P( $E_{{1}}$ )= $\frac{1}{6}$

$E_{{2}}$ : uscita di un numero pari

P( $E_{{2}}$ ) = $\frac{3}{6}$

I due eventi sono incompatibili, quindi:

P(E)= $\frac{1}{6}$ + $\frac{3}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Esercizio n° 9

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi compatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: estrarre una rosa o un fiore rosso da un mazzo di fiori formato da 5 rose rosse, 6 rose gialle, 4 garofani rossi e 4 garofani bianchi.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

$E_{{1}}$ : estrazione di una rosa

$E_{{2}}$ : estrazione di un fiore rosso

I due eventi sono compatibili: è possibile estrarre una rosa rossa.

Le rose sono (5 + 6) = 11

I fiori rossi sono (5 + 4) = 9

I fiori sono in tutto (5+ 6+ 4+ 4) = 19

P( $E_{{1}}$ )= $\frac{11}{19}$ P( $E_{{2}}$ ) = $\frac{9}{19}$

Indicato con l’evento: estrazione di una rosa rossa, si ottiene:

P( $E_{{3}}$ ) = $\frac{5}{19}$ per cui:

P(E) = $\frac{11}{19}$ + $\frac{9}{19}$ – $\frac{5}{19}$ = $\frac{15}{19}$ Dobbiamo togliere $\frac{5}{19}$ perchè la probabilità di estrarre una rosa rossa già è presente nella probabilità di estrarre un fiore rosso.