Esercizi sulle disequazioni intere

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

5 (x – 1 ) < 2 (x – 3)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

2 (x – 1) + 3 (x – 2) < – 7

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

$\frac{1}{2}$ x – (1 + x) > $\frac{3}{2}$

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

x – 4 (x + 2) ≤ 2x – [ x – (3 – 4x)]

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

$\frac{3}{2}$ ( x + $\frac{1}{2}$ ) > 2 (x + $\frac{1}{2}$ ) – $\frac{1}{2}$ (x – $\frac{1}{2}$ )

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione letterale intera nella variabile x.

2(x + 1)(a – 2) + 3a < 3x (a – 4)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

3x – a(x – a) < (a – 1) (a + 1) + a + 4

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(2x + 3)a – (2a – x)² >(a – x) (a + x) + 2x +4a²

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(a + x)² – a² > x (x – 1) + 3 (91)

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(x + $\frac{4}{3a}$ )² – x(x + $\frac{4}{3a}$ ) ≥ 3(x + $\frac{4}{3a}$ ) – $\frac{8}{3a}$ – 2x con a>0 (93)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

5 (x – 1 ) < 2 (x – 3)

5x – 5 < 2x – 6

5x – 2x < -6 + 5

3x < -1 ⇒ $\frac{3}{3}$ x <- $\frac{1}{3}$

x <- $\frac{1}{3}$

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

2 (x – 1) + 3 (x – 2) < – 7 (x < 1\5)

2x – 2 + 3x – 6 < – 7

2x + 3x < -7 + 2 + 6

5x < 1 ⇒ x < $\frac{1}{5}$

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

$\frac{1}{2}$ x – (1 + x) > $\frac{3}{2}$ (x < – 5)

$\frac{1}{2}$ x – 1 – x > $\frac{3}{2}$

x – 2 -2x > 3

-x > 3 + 2 ⇒ -x > 5

x < -5

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

x – 4 (x + 2) ≤ 2x – [ x – (3 – 4x)]

x – 4x -8 ≤ 2x – ( x -3 + 4x)

x – 4x – 8 ≤ 2x – x + 3 – 4x

x – 4x – 2x + x + 4x ≤ + 3 + 8

0 ≤ 11 ∀ x ∈ R

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente disequazione numerica intera.

$\frac{3}{2}$ ( x + $\frac{1}{2}$ ) > 2 (x + $\frac{1}{2}$ ) – $\frac{1}{2}$ (x – $\frac{1}{2}$ )

$\frac{3}{2}$ x + $\frac{3}{4}$ > 2x + 1 – $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{4}$

$\frac{3}{2}$ x – 2x + $\frac{1}{2}$ x > 1 + $\frac{1}{4}$ – $\frac{3}{4}$ facciamo il m.c.m. in modo da eliminare il denominatore

$\frac{6x - 8x + 2x}{4}$ > $\frac{4 + 1 - 3}{4}$

6x – 8x + 2x > 4 + 1 – 3

0 > 2 impossibile

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione letterale intera nella variabile x.

2(x + 1)(a – 2) + 3a < 3x (a – 4)

2(ax – 2x + a – 2) + 3a <3ax – 12x

2ax -4x +2a -4 + 3a <3ax – 12x

2ax -4x -3ax +12x < -2a + 4 – 3a

-ax +8x < -5a +4

x(-a +8)< -5a +4

Discussione

Se -a + 8 > 0 ⇒ a – 8 <0 ⇒ a <8 allora possiamo dividere per – a + 8 senza cambiare il segno alla disequazione (infatti se a fosse 5 avremo -5 + 8 = + 3 il segno sarà positivo così per gli altri numeri più piccoli di 8)e la soluzione sara:

x < $\frac{-5a +4}{-a + 8}$

Se -a + 8 = 0 ⇒ a = 8

verrebbe x (0) < -5(8) +4 ⇒ 0 < -36 impossibile

Se -a + 8 <0 ⇒ a – 8 >0 ⇒ a > 8

allora bisogna cambiare il segno alla disequazione e otterremo:

x > $\frac{-5a +4}{-a + 8}$

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

3x – a(x – a) < (a – 1) (a + 1) + a + 4

3x -ax + a² < a² – 1 +a + 4

3x -ax <-a² + a² – 1 +a + 4

x(3 – a) < a + 3

Discussione

Se 3 -a >0 ⇒ -3 + a < 0 ⇒ a < 3 allora possiamo dividere per 3 – a senza cambiare il senso alla disequazione e otteniamo:

x < $\frac{a + 3}{3 - a}$

Se 3 – a = 0 ⇒ a = 3 e avremo:

x(3 – 3) < 3 + 3 ⇒ x(0) < 6 ⇒ 0 < 6 ∀ x ∈ R

Se 3 – a <0 ⇒ -3 + a > o ⇒ a > 3 in questo caso il denominatore diventerebbe negativo e quindi per poter dividere per 3 – a cambiamo il senso della disequazione e otteniamo:

x > $\frac{a + 3}{3 - a}$

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(2x + 3)a – (2a – x)² >(a – x) (a + x) + 2x +4a² (90)

2ax + 3a – (4a² + x² -4ax) > a² – x² + 2x + 4a²

2ax + 3a – 4a² ~~– x²~~ +4ax > a² ~~– x²~~ + 2x + 4a²

2ax + 4ax -2x > a²+ 4a² + 4a²-3a

6ax -2x > 9a² -3a

2x(3a – 1) > 3a(3a -1)

2x > 3a

Discussione

Se 3a – 1 > 0 ⇒ a > $\frac{1}{3}$ allora la disequazione rimane dello stesso senso e quindi :

x > $\frac{3}{2}$ a

Se 3a – 1 = 0 ⇒ a = $\frac{1}{3}$

2x (3 · $\frac{1}{3}$ – 1 ) > 3 · $\frac{1}{3}$ ( 3· $\frac{1}{3}$ – 1 )

2x(1 – 1 ) > (1 -1 )

0 > 0 impossibile

Se 3a – 1 < 0 ⇒ a < $\frac{1}{3}$ allora la disequazione cambia il senso e quindi avremo:

x < $\frac{3}{2}$ a

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(a + x)² – a² > x (x – 1) + 3

a² + x² + 2ax ~~-a²~~ > x² – x + 3

2ax + x > 3

x( 2a + 1) > 3

Discussione

Se 2a + 1 > 0 ⇒ a >– $\frac{1}{2}$ la disequazione rimane nello stesso senso

x > $\frac{3}{2a + 1}$

Se 2a + 1 = 0 ⇒ a = – $\frac{1}{2}$

x ( 2 · (- $\frac{1}{2}$ ) + 1) > 3

x (-1 + 1 ) > 3

0 > 3 impossibile

Se 2a + 1 < 0 ⇒ a <- $\frac{1}{2}$ allora la disequazione dovrà cambiare il senso quindi:

x < $\frac{3}{2a + 1}$

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente disequazione letterale intera.

(x + $\frac{4}{3a}$ )² – x(x + $\frac{4}{3a}$ ) ≥ 3(x + $\frac{4}{3a}$ ) – $\frac{8}{3a}$ – 2x con a>0

x² + $\frac{16}{9a^{2}}$ + $\frac{8x}{3a}$ ~~– x²~~ – $\frac{4x}{3a}$ ≥ 3x + $\frac{4}{a}$ – $\frac{8}{3a}$ – 2x

$\frac{16}{9a^{2}}$ + $\frac{8x}{3a}$ – $\frac{4x}{3a}$ ≥ x + $\frac{4}{a}$ – $\frac{8}{3a}$

$\frac{8x}{3a}$ – $\frac{4x}{3a}$ -x ≥ + $\frac{4}{a}$ – $\frac{8}{3a}$ – $\frac{16}{9a^{2}}$

$\frac{ +24ax -12ax-9a^{2}x }{9a^{2}}$ ≥ $\frac{ 36a -24a-16}{9a^{2}}$

24ax – 12ax – 9a²x ≥ 36a -24a – 16

12ax – 9a²x ≥ 12a – 16

3ax (4 – 3a) ≥ -4(-3a + 4)

Discussione

Se 4 – 3a > 0 ⇒ -4 + 3a < 0 ⇒ a < $\frac{4}{3}$ la disequazione non cambia e la soluzione è:

3ax ≥ -4 ⇒ x ≥ $-\frac{4}{3a}$

Se 4 – 3a = 0 a = $\frac{4}{3}$

3ax ( 4 – 3 · $\frac{4}{3}$ ) ≥ -4(-3 · $\frac{4}{3}$ + 4)

3ax (0) ≥ 4 (-4 + 4)

0≥ 0 ∀ x ∈ R

Se 4 – 3a < 0 ⇒ -4 + 3a >0 ⇒ a > $\frac{4}{3}$ allora la disequazione cambierà senso e la soluzione è:

x ≤ $-\frac{4}{3a}$