I radicali quadratici doppi, programma matematica secondo superiore

Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:

$\sqrt{a +\sqrt{b}}$

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differenza di due radicali semplici e la formula sarà la seguente:

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ = $\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2}-b}}{2}} \pm$ $\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}}$

Esempi

$\sqrt{4 -\sqrt{7}}$ Prima di tutto si vede se il radicale doppio è trasformabile in differenza di due radicali semplici si ha:

4² – 7 = 16 – 7 = 9 = 3²

Poichè si è ottenuto un quadrato perfetto il radicale dato è trasformabile nella differenze di due radicali semplici, quindi si ha:

1) $\sqrt{4 -\sqrt{7}}$ = $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{3^{2}}}{2}} - \sqrt{\frac{4 - \sqrt{3^{2}}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{4 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{4 - 3}{2}}$ = $\sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}$

2) $\sqrt{5 +\sqrt{3}}$ vediamo se il radicale doppio è trasformabile nella somma di sue radicali semplici.

5² – 3 = 25 – 3 = 22 poichè 22 non è un quadrato perfetto il radicale doppio non è trasformabile nella somma di due radicali semplici.

3) $\sqrt{7 -2\sqrt{6}}$ vediamo se è possibile procedere

7² -( $2\sqrt{6}$ )² = 49 – 24 = 25 = 5² quindi possiamo procedere

$\sqrt{7 -2\sqrt{6}}$ = $\sqrt{\frac{7 + \sqrt{5^{2}}}{2}} - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{5^{2}}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{7 + 5}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 5}{2}}$ = $\sqrt{\frac{12}{2}} - \sqrt{\frac{2}{2}}$ = $\sqrt{6}-\sqrt{1}$ = $\sqrt{6}-1$

4) $\sqrt{8 -\sqrt{15}}$ ma 8² – 15 = 64-15 = 49 = 7²

$\sqrt{8 -\sqrt{15}}$ = $\sqrt{\frac{8 + \sqrt{49}}{2}} - \sqrt{\frac{8 - \sqrt{49}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{8 + 7}{2}} - \sqrt{\frac{8 - 7}{2}}$ = $\sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ è possibile scriverla anche come :