I radicali quadratici doppi

Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:

\sqrt{a +\sqrt{b}}

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differenza di due radicali semplici e la formula sarà la seguente:

\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2}-b}}{2}}  \pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}}

Esempi

\sqrt{4 -\sqrt{7}}  Prima di tutto si vede se il radicale doppio è trasformabile in differenza di due radicali semplici si ha:

4² – 7 = 16 – 7 = 9 = 3²

Poichè si è ottenuto un quadrato perfetto il radicale dato è trasformabile nella differenze di due radicali semplici, quindi si ha:

1)\sqrt{4 -\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{3^{2}}}{2}} - \sqrt{\frac{4 - \sqrt{3^{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}

2) \sqrt{5 +\sqrt{3}}  vediamo se il radicale doppio è trasformabile nella somma di sue radicali semplici.

5² – 3 = 25 – 3 = 22 poichè 22 non è un quadrato perfetto il radicale doppio non è trasformabile nella somma di due radicali semplici.

3) \sqrt{7 -2\sqrt{6}}  vediamo se è possibile procedere

7² -( 2\sqrt{6})² = 49 – 24 = 25 = 5² quindi possiamo procedere

\sqrt{7 -2\sqrt{6}}   = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{5^{2}}}{2}} - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{5^{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{7 + 5}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 5}{2}} = \sqrt{\frac{12}{2}} - \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{6}-\sqrt{1} = \sqrt{6}-1

4) \sqrt{8 -\sqrt{15}}  ma 8² – 15 = 64-15 = 49 = 7²

\sqrt{8 -\sqrt{15}}  = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{49}}{2}} - \sqrt{\frac{8 - \sqrt{49}}{2}} = \sqrt{\frac{8 + 7}{2}} - \sqrt{\frac{8 - 7}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}  è possibile scriverla anche come :

\frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{2}} razionalizziamo e otteniamo :

\frac{(\sqrt{15}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30} - \sqrt{2}}{2}

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Vedi gli esercizi