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Potenze con esponente razionale

 

E’ possibile scrivere i radicali in una forma diversa, in modo da poter estendere il concetto di potenza anche ai numeri razionali.

coniugazione passiva di Capio, capis, cepi, captum, capere (prendere)

La potenza con esponente razionale \frac{m}{n} di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice n-esima di  a^{m}.

 a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}   con a≥0

Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.

Esempi:

 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1

 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^{2}}  = \sqrt[3]{25}

 2^{-\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{2^{-4}}  = \sqrt[5]{(\frac{1}{2} )^{4} = \sqrt[5]{\frac{1}{16}

 

Prodotto di due potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze di uguali basi è una potenza della stessa base avente per esponente la somma degli esponenti.

Anche se l’esercizio si presentasse con un numero sotto radice noi lo trasformiamo in una potenze.

 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 ^{\frac{4}{3}} =  3^{\frac{1}{2} +\frac{4}{3} } =  3^{\frac{3 + 8}{6}  =  3^{\frac{11}{6}

Divisione di potenze aventi le basi uguali ed esponenti razionale

Il quoto di due o più potenze di uguali basi è una potenza della stessa base avente per esponente la differenza degli esponenti.

 2^{\frac{3}{4}} :  2^{\frac{1}{3}} =  2^{\frac{3}{4} -\frac{1}{3} }  =  2^{\frac{9 - 4}{12} }  =  2^{\frac{5}{12} }

Potenze di una potenza

La potenza di una potenza è una potenza della stessa base avente per esponente il prodotto degli esponenti.

\left [ \frac{2}{5}^{\frac{1}{2} } \right ] ^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5} ^{\frac{1}{5}}

Vedi gli esercizi

 

Vedi programma di matematica del secondo superiore

 

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