In un sistema di riferimento cartesiano è  possibile determinare la distanza tra due punti. Si possono verificare varie situazioni.

SEGMENTI ORIZZONTALI  (con la stessa ordinata)

La distanza tra due punti A e B aventi la stessa ordinata è data dal valore assoluto della differenza tra le ascisse dei due punti.

Si considera il valore assoluto perchè la misura di un segmento non può essere mai negativa.

Se chiamiamo x_{{a}} e x_{{b}} le ascisse dei punti abbiamo: AB=| x_{{a}}x_{{b}}|.

Calcoliamo per esempio la lunghezza del segmento AB i cui estremi hanno coordinate: A(1;2)    B(5;2):

SEGMENTI ORIZZONTALE

AB=| x_{{a}}x_{{b}}|=|  -1-(-5) |=-1 +5=+4.

Si possono anche invertire facendo \left \| x_{{b}}- x_{{a}} \right \| e il risultato sarà sempre +4

Ovviamente il valore del segmento, a volte, si può vedere anche ad occhio quando il grafico è disegnato su un foglio a quadretti, allora si potrebbero contare i quadratini per sapere la lunghezza.

SEGMENTI VERTICALI con la stessa ascissa

La distanza tra due punti A e B aventi la stessa ascissa è data dal valore assoluto della differenza fra le ordinate dei due punti.

AB=| y_{{a}}y_{{b}}|.

Si considera il valore assolto perchè un segmento non può essere mai negativo.

Calcoliamo la lunghezza del segmento AB i cui estremi hanno coordinate A(3;2) e B(3;1)

SEGMENTI VERTICALI

Sul grafico osserviamo che la lunghezza del segmento AB è 3u.

Otteniamo lo stesso risultato applicando la formula:

AB=| y_{{a}}y_{{b}}|=| 2-(-1)|=| 2+1|=+3

Se si dovesse fare un segmento verticale su di un foglio a quadretti dove ogni unità è rappresentata da un quadratino, se fossimo in difficoltà potremmo contare semplicemente i quadratini da un estremo all’altro.

    

SEGMENTI OBLIQUI: DISTANZA TRA DUE PUNTI GENERICI

La misura della distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle ascisse e delle ordinate dei punti.

Siano A e B due punti aventi rispettivamente per coordinate i numeri  x_{{a}}, y_{{a}}  e   x_{{b}}, y_{{b}};  cioè A( x_{{a}}, y_{{a}} ) e B( x_{{b}}, y_{{b}}).

Indichiamo con A’ e B’ le proiezioni di A e B  sull’asse x avremo:

244

OB’= x_{{b}};  OA’=  x_{{a}};   B’B= y_{{b}};   B’C= , y_{{a}}  allora:

AC= OB’-OA’ =x_{b}- x_{{a}};

CB= B’B – B’C = y_{b}- y_{{a}}

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC avremo:

AB=\sqrt{AC ^{2}+CB ^{2}}=

\sqrt{(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}

ESEMPIO

Calcolare la misura della distanza dei punti A(2,2) e B(6,5).

Si ha :

AB=\sqrt{(x_{{b}}-x_{{a}}) ^{2}+(y_{{b}}-y_{{a}}) ^{2}}

AB=\sqrt{ (6-2) ^{2}+(5-2) ^{2}} =\sqrt{4 ^{2}+3 ^{2}} =

=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

distanza tra due punti ESEMPIO

 

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