Supponiamo che un’urna contenga 100 palline uguali di forma e di massa e uguali al tatto, di cui 50 sono bianche e 50 sono nere. E’ evidente che la probabilità di estrarre una pallina è uguale a quella di estrarre una pallina nera.
Però se delle 100 palline 75 sono bianche e 25 sono nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca è maggiore di quella di estrarre una pallina nera. In tal caso diciamo che i casi possibili sono 100 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 100 palline e i casi favorevoli sono 75 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 75 palline bianche.
Ora si intuisce che c’è una relazione fra il numero di casi possibili e quello dei casi favorevoli. Infatti: la probabilità p(A) che si verifichi un evento A è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli f(A) al verificarsi dell’evento A e il numero n dei casi, ritenuti ugualmente possibili. Quindi:
Nell’esempio considerato, il numero dei casi possibili è 100, quello dei casi favorevoli è 75, per cui la probabilità p che dall’urna venga estratta una pallina bianca è:
p=75\100=0,75
Un altro esempio può essere:
Se in un sacchetto non trasparente, inseriamo 6 palline rosse e 4 nere cioè 10 palline in totale, la probabilità dell’evento:
A=”viene estratta una pallina rossa”
Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono incompatibili quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro.
Consideriamo un mazzo da 52 carte e i due eventi:
E(1): estrarre un asso E(2)= estrarre un fante
P(E(1)) = 4\52=1\13 f= 4 (i 4 assi) p= 52 (tutte le carte)
P(E(2)) = 4\52=1\3 f= 4 (i 4 fanti) p = 52 (tutte le carte)
I due eventi E(1) e E(2) si escludono a vicenda; il verificarsi dell’evento E(1) esclude il verificarsi dell’evento E(2): non si possono estrarre contemporaneamente un asso e un fante. I due eventi E(1) e E(2) sono incompatibili.
Se due eventi parziali E(1) e E(2) sono incompatibili la probabilità che si verifichi l’evento totale, cioè l’evento E(1) o l’evento E(2) è uguale alla somma delle singole probabilità. P( E(1) o E(2)) = P (E(1)) + P (E(2))
Consideriamo la probabilità del seguente evento:
E: estrarre un asso o un fante da un mazzo da 52 carte
I due eventi E(1): estrarre un asso e E(2): estrarre un fante si dicono eventi parziali, mentre E: estrarre un asse o un fante si dice evento totale, per cui otteniamo E= E(1)o E(2)
I due eventi parziali sono incompatibili, perchè non possono verificarsi contemporaneamente, quindi:
P(E)= P(E(1)) + P( E(2)) =
Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono compatibili quando il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro.
La probabilità dell’evento E si ottiene applicando la formula :
I casi possibili sono 52 come le carte del mazzo; i casi favorevoli sono 4 (numero dei re) più 12 ( numero delle carte di cuori da cui abbiamo escluso il re contato prima), quindi:
P(E)= 16\52=4\13
Si ottiene lo stesso risultato addizionando: P(E(1)) + P( E(2)) e sottraendo la probabilità P ((E(3)) dell’evento (E(3): estrarre un re di cuori già compreso in E(1) e in E(2), quindi:
P(E)= P (E(1)) + P ( E(2)) – P (E(3)) =
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